Balkan Matematik Olimpiyatı - 1991

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin küçük $AB$ yayı üzerinde bir $M$ noktası alınıyor. $M$'den $OA$'ya çizilen dikme$,\ AB$ ve $AC$'yi sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. $M$'den $OB$'ye çizilen dikme$,\ AB$ ve $BC$'yi sırasıyla $N$ ve $P$ noktalarında kesiyor. $|KL|=|MN|$ olduğuna göre$,\ MLP$ açısını $ABC$ üçgeninin açıları cinsinden bulunuz.

Aşağıdaki özelliklere sahip olan sonsuz tane eş olmayan üçgen olduğunu gösteriniz :

  (i) Kenar uzunlukları aralarında asal tam sayılar

 (ii) Alanı bir tam sayı

(iii) Hiçbir yükseklik uzunluğu tam sayı değil

Alanı $P$ olan dışbükey bir çokgenin içerisine alanı $H$ olan düzgün altıgen çizilmiştir. $P \leq \frac{3}{2}H$ olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumunun ne zaman gerçekleştiğini belirtiniz.

Her $m,n$  için $f(mn)=f(m)+f(n)+3f(m)f(n)$ olacak şekilde$,$

bire bir ve örten bir $f : \{ 1,2,... \} \to \{0,1,2,...\}$ fonksiyonu bulunmadığını kanıtlayınız.