Balkan Matematik Olimpiyatı - 1993 Çözümleri

$a,b,c,d,e,f$ reel sayılar olmak üzere$,$

$a+b+c+d+e+f=10$

$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2+(e-1)^2+(f-1)^2=6$

olduğuna göre$,\ f$'nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

(Kıbrıs)

Ondalık gösterimi $\overline{ a_na_{n-1} \ldots a_1a_0 }$ olan bir doğal sayı$,\ a_n\leq a_{n-1} \leq \cdots \leq a_0$ şartını sağlıyorsa bu sayıya monoton diyelim. En çok $1993$ basamaklı$,$ tüm monoton sayıların sayısını belirleyiniz.

(Bulgaristan)

Sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ merkezli $C_1$ ve $C_2$ çemberleri, $\Gamma$ noktasında birbirlerine dıştan teğettir. $O$ merkezli bir $C$ çemberi ise $C_1$'e $A$ noktasında, $C_2$'ye $B$ noktasında teğettir ($O_1$ ve $O_2$, $C$'nin içindedir.). $C_1$ ve $C_2$'nin $\Gamma$ noktasındaki ortak teğeti, $C$'yi $K$ ve $L$ noktalarında kestiğine göre, $KL$ kirişinin orta noktası $D$ ise $\ m(\widehat{O_1OO_2}) = m(\widehat{ADB})$ olduğunu gösteriniz.

(Yunanistan)

Çözüm:

$C_1$ ile $C$ nin ortak dış teğeti $\ell_1$, $C_2$ ile $C$ nin ortak dış teğeti $\ell_2$ olsun. $\ell_1$, $\ell_2$ ve $KL$ doğruları bu üç çemberin ikişerli olarak kuvvet eksenleri olduğu için bu üç doğru noktadaştır. Bu nokta $P$ olsun.
$OD\perp KL$ olduğu için $PO$ çaplı çember $A, B, D$ noktalarından geçer. Bu durumda $\angle ADB = \angle AOB = \angle O_1OO_2$ elde edilir.

$p$ bir asal sayı ve $m \geq 2$ bir tam sayı olsun.

$\dfrac{x^p+y^p}{2} = \left( \dfrac{x+y}{2} \right)^m$

denkleminin pozitif tam sayılarda $(x,y) \neq (1,1)$ çözümünün olması için gerek ve yeter koşul $m=p$ olmasıdır, ispatlayınız.

(Romanya)