Balkan Matematik Olimpiyatı - 1993

$a,b,c,d,e,f$  reel sayılar olmak üzere$,$

                                             $a+b+c+d+e+f=10$

               $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2+(e-1)^2+(f-1)^2=6$

olduğuna göre$,\ f$'nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Ondalık gösterimi  $\overline{ a_na_{n-1} \ldots a_1a_0 }$ olan bir doğal sayı$,\ a_n\leq a_{n-1} \leq \cdots \leq a_0$ şartını sağlıyorsa bu sayıya monoton diyelim. En çok $1993$ basamaklı$,$ tüm monoton sayıların sayısını belirleyiniz.

Sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ merkezli $C_1$ ve $C_2$ çemberleri, $\Gamma$ noktasında birbirlerine dıştan teğettir. $O$ merkezli bir $C$ çemberi ise $C_1$'e $A$ noktasında, $C_2$'ye $B$ noktasında teğettir ($O_1$ ve $O_2$, $C$'nin içindedir.). $C_1$ ve $C_2$'nin $\Gamma$ noktasındaki ortak teğeti, $C$'yi $K$ ve $L$ noktalarında kestiğine göre, $KL$ kirişinin orta noktası $D$ ise $\ m(\widehat{O_1OO_2}) = m(\widehat{ADB})$ olduğunu gösteriniz.

$p$ bir asal sayı ve $m \geq 2$ bir tam sayı olsun.

                                   $\dfrac{x^p+y^p}{2} = \left( \dfrac{x+y}{2} \right)^m$

denkleminin pozitif tam sayılarda $(x,y) \neq (1,1)$ çözümünün olması için gerek ve yeter koşul $m=p$ olmasıdır, ispatlayınız.