Geomania.Org Forumları

Bir $ABCD$ konveks dörtgeninin $\lbrack CD\rbrack $ kenarı üzerinde $0<\vert DE\vert =\vert FC\vert <|CD|$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. $ADE$ ve $ACF$ üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez $K$ noktasında; $BDE$ ve $BCF$ üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez $L$ noktasında kesişiyor. $A,B,K,L$ noktalarının çemberdeş olduğunu ispat ediniz.

$2006$ öğrenci ve $14$ öğretmenin bulunduğu bir okulda, her öğrencinin en az bir öğretmen ile tanışık olması koşuluyla, öğretmenler ve öğrenciler arasındaki tanışıklı bağıntısı ne olursa olsun; öğretmenin tanıdığı öğrenci sayısının, öğrencinin tanıdığı öğretmen sayısına oranının en az $t$ olduğu, birbirini tanıyan bir öğrenci-öğretmen ikilisinin bulunmasını sağlayan en büyük $t$ gerçel sayısını belirleyiniz.

$$P_{n}(x)=(x^{2}+x+1)^{n}-(x^{2}+x)^{n}-(x^{2}+1)^{n}-(x+1)^{n}+x^{2n}+x^{n}+1$$ polinomunun tüm katsayılarının $7$ ile bölünmesini sağlayan bütün $ n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

$n\ge 2$ ve $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere $$t=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}$$ ise, $$\sum\limits_{i\ne j}{\dfrac{a_{i}}{a_{j}}}\ge \dfrac{(n-1)^{2}t}{t-1}$$ olduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin yükseklikleri $\lbrack AA_{1}\rbrack $, $\lbrack BB_{1}\rbrack $ ve $\lbrack CC_{1}\rbrack $ olsun. $AB_{1}C_{1}$, $BC_{1}A_{1}$ ve $CA_{1}B_{1}$ üçgenlerinin iç merkezleri, sırasıyla, $O_{A}$, $O_{B}$ ve $O_{C}$ olsun. $ ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $BC$, $CA$ ve $AB$ kenarlarına, sırasıyla, $T_{A}$, $T_{B}$ ve $T_{C}$ noktalarında teğet ise, $ T_{A}O_{C}T_{B}O_{A}T_{C}O_{B}$ altıgeninin eşkenar olduğunu gösteriniz.

Kenarları, alanı ve iç açılarının derece cinsinden ölçüleri rasyonel sayılar olan bir üçgenin bulunmadığını ispat ediniz.