Balkan Matematik Olimpiyatı - 1996 Çözümleri

$M$, $AB$ nin orta noktası olsun.
$OM^2=R^2 - \dfrac {a^2}{4}$, $AM^2=\dfrac {b^2}{2}+\dfrac {c^2}{2}-\dfrac {a^2}{4}$.
$\triangle AOM$ üçgeninde Stewart uygularsak çok bilinen $$OG^2 = R^2-\dfrac 19 \cdot (a^2+b^2+c^2) \tag{1}$$ eşitliğini elde ederiz.
Bu durumda göstermemiz gereken eşitsizlik önce: $$18Rr \leq a^2+b^2+c^2 \tag {2}$$
formuna, daha sonra $\dfrac{abc}{4R} = ur = \dfrac{(a+b+c)r}2 \Longrightarrow 18Rr = \dfrac{9abc}{a+b+c}$ olduğu için $$9abc \leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\tag {3}$$ formuna dönüşür.
Karesel Ortalama - Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden
$$\left ( \dfrac {a^2+b^2+c^2}{3} \right )^{1/2} \geq \sqrt[3]{abc}$$ ve $AGO$ dan $$\dfrac {a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$$ olduğu için ilk eşitsizliğin karesini alıp ikinci eşitsizlik ile çarptıktan sonra $(3)$ ü elde ederiz.

Not: $I$ iç merkez olmak üzere, $OI^2 = R^2 - 2Rr$ eşitliği çok bilinen bir eşitlik. Bu durumda soru aslında bizden $OG \leq OI$ olduğunu göstermemizi istiyor.