Balkan Matematik Olimpiyatı - 1996

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ ve ağırlık merkezi $G$ olsun. $R$ ve $r$ sırasıyla çevrel çemberin ve iç teğet çemberin yarıçapları olmak üzere
$$OG \leq \sqrt{ R ( R - 2r ) }$$
olduğunu ispatlayınız.

$p>5$ bir asal sayı olsun. $ X = \left\{p - n^2 \mid n\in \mathbb{N} ,\ n^2 < p\right\}$ kümesini düşünelim.

$x \neq 1$ ve $x \mid y$ olacak şekilde $X$ kümesinin birbirinden farklı $x$ ve $y$ elemanlarının olduğunu ispatlayınız.

Bir $ABCDE$ konveks beşgeninde $M,N,P,Q,R$ noktaları sırasıyla $AB,BC,CD,DE,EA$ kenarlarının orta noktaları olsun. Eğer $AP,BQ,CR$ ve $DM$ tek bir noktadan geçiyorsa $EN$'nin de aynı noktadan geçtiğini ispatlayınız.

$\{1,2, \ldots, 2^{1996}-1\}$ kümesinin aşağıdaki şartları sağlayan bir $A$ alt kümesi bulunduğunu gösteriniz :

  (i) $1 \in A$ ve $2^{1996}-1 \in A$
 
 (ii) $1$ dışındaki $A$'daki tüm elemanlar, $A$'da bulunan diğer iki elemanın(farklı olması gerekmez) toplamı olarak yazılabilir.

(iii) $A$'nın eleman sayısı en çok $2012$ olabilir.