Balkan Matematik Olimpiyatı - 1997 Çözümleri

$O,\ ABCD$ konveks dörtgeninin içinde bir nokta olmak üzere,
$$OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2 = 2 \cdot Alan(ABCD)$$
eşitliği sağlanıyor. İspatlayınız ki $ABCD$ bir karedir ve $O$ noktası karenin merkezidir.

(Yugoslavya)

Çözüm:

$\dfrac{OA^2+OB^2}2 \geq \sqrt{OA\cdot OB} \geq \sqrt{OA\cdot OB} \cdot \sin \angle AOB =2[AOB]$

$\dfrac{OB^2+OC^2}2 \geq 2[BOC]$

$\dfrac{OC^2+OD^2}2 \geq 2[COD]$

$\dfrac{OD^2+OA^2}2 \geq 2[DOA]$

eşitsizliklerini taraf tarafa toplarsak $OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\geq 2[ABCD]$ elde ederiz.
Eşitlik durumu $OA=OB=OC=OD$ ve $\angle AOB = \angle BOC =\angle COD = \angle DOA= 90^\circ$ iken sağlanır. Bu da $O$ yu çevrel merkez ve $ABCD$ yi kare yapar.

$S = \{A_1, A_2, \ldots, A_k\}$ ile $n$ elemanlı $A$ kümesine ait alt kümelerin bir kümesini gösterelim. Herhangi $x, y \in A$ eleman çifti için, $x$ ve $y$ elemanlarından tam olarak birini içeren $A_i \in S$ alt kümesi bulunuyorsa, $2^k \geq n$ olduğunu kanıtlayın.

Yugoslavia

$\mathcal C_1$ ve $\mathcal C_2$ çemberleri birbirlerine $D$ noktasında dıştan teğet, $\omega$ çemberine sırasıyla $B$ ve $C$ noktalarında içten teğettir. $\mathcal C_1$ ve $\mathcal C_2$'nin $D$ noktasındaki ortak teğeti ile $\omega$ nın kesişim noktalarından biri $A$ olsun. $AB$ ve $AC$ doğruları, sırasıyla $\mathcal C_1$ ve $\mathcal C_2$'yi ikinci kez $K$ ve $L$ noktalarında kesmektedir. $BC$ doğrusu $\mathcal C_1$'i $M$ noktasında ve $\mathcal C_2$'yi $N$ noktasında ikinci kez kesmektedir. $AD$, $KM$ ve $LN$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayın.

Yunanistan

Her $x,y \in \mathbb R$ için
$$f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2 + y$$
şartını sağlayan tüm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Bulgaristan)