Balkan Matematik Olimpiyatı - 1998

$k=1,2,\ldots,1997$ için $\left\lfloor \frac{k^2}{1998} \right\rfloor$ şeklindeki sonlu diziyi ele alalım. Bu dizide kaç farklı terim bulunmaktadır?

$n \geq 2$ bir tam sayı ve $0<a_1<a_2< \cdots < a_{2n+1}$ reel sayılar olmak üzere,
$$\sqrt[n]{a_1} - \sqrt[n]{a_2} + \sqrt[n]{a_3} - \cdots + \sqrt[n]{a_{2n+1}} < \sqrt[n]{a_1 - a_2 + a_3 - \cdots + a_{2n+1}}$$
eşitsizliğini ispatlayınız.

$T$, $ABC$ üçgeninin içinde bir nokta olsun. $ABC$ üçgeninin içinde ve üstünde bulunan tüm noktaların ($T$ hariç) kümesini $S$ ile gösterelim. $S$ kümesinin ayrık kapalı doğru parçalarının birleşimi olarak yazılabileceğini gösteriniz. (Kapalı doğru parçası, her iki uç noktasını da içerir.)

$y^2=x^5-4$ denkleminin tam sayılarda çözümünün olmadığını gösteriniz.