Geomania.Org Forumları

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $AC$ kenarını çap kabul eden çember, $AB$ ve $BC$ yi, $A$ ve $C$ dışında, sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi, $CK$ doğrusunu $C$ dışında $F$ noktasında; $AL$ doğrusunu ise, $A$ dışında $D$ noktasında kesiyor. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin $ \lbrack AC\rbrack $ kirişinin küçük yayı üstünde bir $E$ noktası alıp, $BE$ ile $AC$ nin kesiştiği noktaya $N$ diyelim. Eğer $$\vert AF\vert ^{2}+\vert BD\vert ^{2}+\vert CE\vert ^{2}=\vert AE\vert ^{2}+\vert CD\vert ^{2}+\vert BF\vert ^{2}$$ ise, $m(\widehat{KNB})=m(\widehat{BNL})$ olduğunu gösteriniz.

$2007\times 2007$ bir satranç tahtasının bazı birim kareleri kırmızıya boyanıyor. Tahtanın $i.$ satır ve $j.$ sütunundaki birim kareyi $(i,j)$ ile $x\le i$ ve $y\le j$ koşullarını sağlayan kırmızı boyalı $(x,y)$ birim karelerinin kümesini de $S_{i,j}$ ile gösteriyoruz. Başlangıçta boyalı her $(i,j)$ birim karesine $S_{i,j} $ ye ait boyalı karelerin sayısı yazılıyor. Daha sonraki her adımda, boyalı her $(i,j)$ birim karesine, $S_{i,j}$ deki karelere bir önceki adım sonunda yazılmış olan sayıların toplamı yazılıyor. Sonlu sayıda adım sonunda boyalı birim karelere yazılı tüm sayıların tek sayı haline geleceğini gösteriniz.

$a+b+c=3$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c>0$ gerçel sayıları için, $$\dfrac{a^{2}+3b^{2}}{ab^{2}(4-ab)}+\dfrac{b^{2}+3c^{2}}{bc^{2}(4-bc)}+\dfrac{c^{2}+3a^{2}}{ca^{2}(4-ca)}\ge 4$$ olduğunu gösteriniz.

$k>1$ bir sayı, $p=6k+1$ bir asal sayı ve $m=2^{p}-1$ olmak üzere, $$\dfrac{2^{m-1}-1}{127m}$$ sayısının bir tam sayı olduğunu gösteriniz.

$m(\widehat{B})=90^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi, $ BC$ kenarına $D$ noktasında değiyor. $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin iç merkezleri sırasıyla $X$ ve $Z$ olmak üzere, $XZ$ ve $AD$ doğruları $K$ noktasında kesişiyor. $XZ$ nin $ABC$ nin çevrel çemberini kestiği noktalar $U$ ve $V$; $UV$ doğru parçasının orta noktası $M;$ $AD$ nin $ABC$ nin çevrel çemberini $A$ dışında kestiği nokta $Y$ olmak üzere, $\vert CY\vert =2\vert MK\vert $ olduğunu gösteriniz.

$n$ kentin bulunduğu bir ülkede, herhangi iki kent arasında, bu kentleri doğrudan birleştiren en çok bir yol bulunuyor. Farklı yolların sadece kentlerde kesiştiği bu ülkede, herhangi bir kentin tüm yolları kapansa bile, her kentten başka her kente, gerekirse diğer kentlerden geçerek ulaşılabiliyor. Farklı $A$ ve $B$ kentleri verildiğinde, seçtiğimiz en çok $k$ yolu istediğimiz gibi tek yönlü yapmak suretiyle, geri kalan yollar nasıl tek yönlü yapılırsa yapılsın, iki kenti doğrudan birleştiren herhangi bir $l$ yolu için, $ A$ dan başlamak, belirlenmiş yönlere uymak, $l$ yolunu kullanmak ve herhangi bir kentten en çok bir kez geçmek üzere $B$ ye ulaşabiliyorsak, $A$ kenti $B$ kentine $k$-yönlü bağlanabilir diyoruz. Her $A$ kenti başka her $ B$ kentine $k$-yönlü bağlanabiliyorsa, $k$ en az kaç olur?