Balkan Matematik Olimpiyatı - 2006

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere


$$\dfrac{1}{a\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{b\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{c\left(a+1\right)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$$


olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninin $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $D$ ve $F$ noktalarında kesen bir $\ell$ doğrusu, $BC$ kenarının uzantısını $E$ noktasında kesiyor($C$ noktası $E$ ile $B$ arasında). $A$'dan geçen $\ell$'ye paralel olan doğru, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $A_1$ noktasında kesiyor. $B_1$ ve $C_1$ de benzer şekilde tanımlansın. $A_1E$, $B_1F$ ve $C_1D$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.

$$m+\dfrac{1}{np},n+\dfrac{1}{pm},p+\dfrac{1}{mn}$$

ifadelerinin aynı anda üçünü tam sayı yapan tüm pozitif rasyonel ($m,n,p$) üçlülerini bulunuz.

                                                       

$m$ bir pozitif tam sayı olsun. $a_0=a$ olmak üzere,

$$a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{2} &  a_n \quad \textrm{çift ise}, \\ a_n + m & a_n \quad \textrm{tek ise.} \end{cases}$$
şartını sağlayan $(a_n)$ pozitif tam sayı dizisinin periyodik olmasını sağlayan tüm $a$ değerlerini bulunuz.