Diklik merkezi $H$ ve çevrel merkezi $O$ olan dar açılı bir $ ABC$ üçgeninin $BC$, $AC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $A_{1}$, $B_{1}$ ve $C_{1}$ olsun. $[HA_{1}$, $ [HB_{1}$ ve $[HC_{1}$ ışınları, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini, sırasıyla $A_{0}$, $B_{0}$ ve $C_{0}$ noktalarında kessin. $ A_{0}B_{0}C_{0}$ üçgeninin diklik merkezi $H_{0}$ ise, $O$, $H$ ve $H_{0}$ noktalarının doğrudaş olduğunu gösteriniz.

$a+b+c=1$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, $$ \dfrac{a^{2}b^{2}}{c^{3}(a^{2}-ab+b^{2})}+\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{3}(b^{2}-bc+c^{2})}+\dfrac{c^{2}a^{2}}{b^{3}(c^{2}-ca+a^{2})}\ge \dfrac{3}{ab+bc+ca}$$ olduğunu kanıtlayınız.

$\mathbb{N}$ negatif olmayan tam sayıların ve $\mathbb{Z}$ de tüm tam sayıların kümesini göstermek üzere, $f:\mathbb{N}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ fonksiyonu,

• $f(0,0)=1$, $f(0,1)=1$,
• her $k\not\in \lbrace 0,1\rbrace $ için, $f(0,k)=0$ ve
• her $n\ge 1$ ve $k$ için, $f(n,k)=f(n-1,k)+f(n-1,k-2n)$

koşullarını sağlıyorsa $$\sum\limits_{k=0}^{\binom{2009}{2}}{f(2008,k)}$$ toplamının değerini bulunuz.

 Düzlemde bir $\Gamma $ çemberi ve onu kesmeyen bir $\ell$ doğrusu verilmiş olsun. $PQ\cap RS=\lbrace A\rbrace $ ve $PS\cap QR=\lbrace B\rbrace $ olacak biçimde, $\Gamma $ çemberi üstünde $P,Q,R,S$ noktalarının bulunmasını sağlayan ve $\ell$ doğrusu üstünde yer alan tüm $\lbrace A,B\rbrace $ nokta ikilileri için, $\lbrack AB\rbrack $ yi çap alan çemberlerin kesişim kümesini belirleyiniz.

$2008$ tane bilgisayardan oluşan bir bilgisayar ağında, herhangi iki döngü kesişmiyor. $t=0$ anında, bir bilgisayar korsanı bu ağdaki bir bilgisayarı ele geçiriyor ve $t=1$ anında da, ağ yönetici, ele geçirilmemiş bir bilgisayara koruyucu bir program yüklüyor. Her $k$ pozitif tam sayısı için, $t=2k$ anında, korsan, varsa, o ana kadar ele geçirdiği bilgisayarlardan birine doğrudan bağlı olan ve koruyucu program yüklenmemiş olan bir bilgisayarı daha ele geçirebiliyor; $ t=2k+1$ anında da, ağ yöneticisi, varsa, o ana kadar koruyucu program yüklenmiş bilgisayarlardan birine doğrudan bağlı olan ve korsanın ele geçirmemiş olduğu bir bilgisayara daha koruyucu programı yükleyebiliyor. Bilgisayar ağı ne şekilde düzenlenmiş olursa olsun, korsanın en çok kaç tane bilgisayarı ele geçirmeyi garantileyebileceğini belirleyiniz.

[ $m \geq 3$ olmak üzere, $B_1$ ve $B_m$ bilgisayarları ve, her $2\leq i \leq m$ için, $B_{i-1}$ ve $B_i$ bilgisayarları doğrudan bağlıysa, $m$ elemanlı $\{B_1, B_2, \dots, B_m\}$ kümesine bir döngü diyoruz.]