Genç Balkan Matematik Olimpiyatı - 2002

$ABC$ üçgeninde $CA=CB$ sağlanıyor. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin üzerinde $A$ ve $B$ noktaları arasında bir $P$ noktası alınıyor($AB$ doğrusunun $C$ tarafının tersinde olacak şekilde). $C$ den $PB$ ye inen dikme ayağı ise $D$ noktası olsun.

$$PA+PB=2.PD$$
olduğunu gösteriniz.

$O_{1}$ ve $O_{2}$ merkezli iki çember $A$ ve $B$ noktasında kesişmektedir ($O_{1}$ ve $O_{2}$ merkezleri, $AB$ doğrusunun farklı taraflarında kalmak üzere). $BO_{1}$ ve $BO_{2}$ doğruları, kendi çemberlerini sırasıyla $B_{1}$ ve $B_{2}$ noktalarında kesiyor. $B_{1}B_{2}$ doğru parçasının orta noktası $M$ olsun. $M_{1}$ ve $M_{2}$ ise sırasıyla $O_{1}$ ve $O_{2}$ merkezli çemberlerin üstünde $\angle AO_{1}M_{1}=\angle AO_{2}M_{2}$; $B_{1}$, küçük $AM_{1}$ yayı üzerinde  ve $B$ küçük $AM_{2}$ yayı üzerinde olacak şekilde alınıyor.
$$\angle MM_{1}B =\angle MM_{2}B$$ olduğunu gösteriniz.

Tam olarak 16 pozitif böleni $1=d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{16}=n$ olan ve $k=d_{5}$ olduğu durumda pozitif bölen $d_{k}=(d_{2}+d_{4})d_{6}$ eşitliğini sağlayan tüm pozitif tam sayıları bulunuz.

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere

$$\dfrac{1}{b(a+b)}+\dfrac{1}{c(b+c)}+\dfrac{1}{a(c+a)}\geq \dfrac{27}{2(a+b+c)^2}$$

olduğunu gösteriniz.