1
$11ab \leq a^3-b^3 \leq 12ab$
koşullarını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.
Çözüm:
$a>b$ olduğu açıktır. $k$ pozitif tamsayısı için $a=b+k$ yazalım. Bu durumda $$11(b^2+bk)\leq 3b^2k+3bk^2+k^3\leq 12(b^2+bk)\implies 0\leq (3k-11)b^2+(3k^2-11k)b+k^3\quad \text{ve}\quad (3k-12)b^2+(3k^2-12k)b+k^3\leq 0$$ elde edilir. Önce $k\geq 4$ durumunu inceleyelim. $$(3k-12)b^2+(3k^2-12k)b+k^3=(3k-12)\left(b^2+bk+\frac{k^2}{4}\right)+\frac{k^3}{4}+3k^2=3(k-4)\left(b+\frac{k}{2}\right)^2+\frac{k^3}{4}+3k^2\leq 0$$ çelişkisi elde edilir çünkü bariz bir şekilde ifade pozitiftir.
$k<4$ olmalıdır. $k=3$ ise $$0\leq -2b^2-6b+27\quad \text{ve}\quad -3b^2-9b+27\leq 0$$ elde edilir. İlk eşitsizliğin sağlanabilmesi için $b=1,2$ olmalıdır. $b=2$ için ikinci eşitsizlik de sağlanır. Buradan $\boxed{(a,b)=(5,2)}$ elde edilir.
$k=2$ ise $$0\leq -5b^2-10b+8\quad \text{ve}\quad -6b^2-12b+8\leq 0$$ elde edilir ancak ilk eşitsizlik hiçbir $b$ pozitif tamsayısı için sağlanmaz. Çözüm gelmez.
$k=1$ ise $$0\leq -8b^2-8b+1\quad \text{ve}\quad -9b^2-9b+1\leq 0$$ elde edilir benzer şekilde ilk eşitsizlik hiçbir $b$ pozitif tamsayısı için sağlanmaz. Çözüm gelmez.
Şartı sağlayan tek $(a,b)$ çifti $(5,2)$'dir.
2
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde diklik merkezi $H,\ A$ köşesinden inilen dikmenin ayağı $D \in [BC]$ olmak üzere$,\ |AH|=|HD|$ dir. $H$ noktasından geçen ve $BHC$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olan doğru $\ell$ olsun. $\ell$ ile $[AB]$ ve $[AC]$ nin kesişim noktaları sırasıyla $S$ ve $T$ olsun. $[BH]$ ve $[CH]$ nin orta noktaları sırasıyla $M$ ve $N$ olsun. $SM$ ve $TN$ doğrularının paralel olduğunu gösteriniz.
3
$p$ ve $q$ asal sayılar$,\ a>1$ olmak üzere$,$
$p^a=1+5q^b$
eşitliğini sağlayan tüm $(p,q,a,b)$ pozitif tam sayı dörtlülerini bulunuz.
4
$\{1,2,...,n\}$ kümesi$,$ her biri iki elemandan oluşan ve elemanlarının toplamı $3$'ün kuvveti olan $\frac{n}{2}$ tane alt kümeye parçalanabiliyorsa$,\ n$ pozitif çift tam sayısına $\textit{güzel}$ diyelim. Örneğin$,\ \{1,2,3,4,5,6\}$ kümesi$,\ \{1,2\}, \{3,6\}, \{4,5\}$ alt kümelerine parçalanabildiği için $6$ güzel sayıdır. $3^{2022}$ den küçük olan güzel pozitif tam sayıların kaç tane olduğunu belirleyiniz.