Bir $ABC$ üçgeninde $BC$ kenarının orta noktası $M,\ A$ ya ait iç açıortayın $BC$ ile kesişimi $K$ ve $ABC$ nin çevrel çemberi ile ikinci kesişimi $L$ olsun. $[BC]$ çaplı çember $A$ köşesine ait dış açıortaya teğet ise $KLM$ nin çevrel çemberine de teğet olduğunu gösteriniz.

$k,n$ pozitif tam sayılar olmak üzere $k \geq n!$  ise

                                           $\phi (k) \geq (n-1)!$

olduğunu gösteriniz.

$a_1,a_2,...,a_{2022}$ negatif olmayan gerçel sayıları $a_1+a_2+...+a_{2022}=1$ eşitliğini sağlıyor. En çok kaç $(i,j)$ sıralı ikilisi için

                                                $a_i^2+a_j \geq \dfrac{1}{2021}$

olur?

Hangi $a$ gerçel sayıları için

                                   $\dfrac{x^3+a}{y+z}=\dfrac{y^3+a}{x+z}=\dfrac{z^3+a}{x+y}=-3$

olmasını sağlayan farklı $x,y,z$  gerçel sayıları bulunur?

$ABC$ üçgeninde  $90> \widehat{A} > \widehat{B} > \widehat{C}$  dir. Diklik merkezi $H$ ve çevrel çember merkezi $O$ olmak üzere $HO$ ile $BC$ doğrularının kesişimi $T,\ AHO$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ise $X$ olsun. $H$ noktasının $TX$ doğrusuna göre yansımasının $ABC$ nin çevrel çemberi üzerinde olduğunu gösteriniz.

$2022$ öğrencinin bulunduğu bir okulda tatil boyunca her gün ya müze gezisi ya da doğa gezisi düzenleniyor. Hiçbir öğrenci aynı tür geziye ikinci kez katılmıyor ve tüm gezilere farklı sayıda öğrenci katılıyor. İki geziye beraber katılan iki öğrenci bulunmadığına göre, toplam gezi sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.