Negatif olmayan $a, b$ ve $c$ sayıları $a+b+c=2\sqrt{abc}$ koşulunu sağlıyor.
$$ bc \geq b + c $$
olduğunu gösteriniz.

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde $\angle A = \angle B = \angle C $ ve $|AD|=|CD|$. $[AB]$ kenarı üzerinde $|BE|=|AD|$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $CE$ doğrusunun $\angle BCD$ nin açıortayı olduğunu gösteriniz.

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her $p<n$ tek asal sayısı için $n-p$ de asal sayı ise, $n$ sayısına $\textit{iyi sayı}$ diyelim. En büyük iyi sayıyı bulunuz.

Bir doğru üzerine $30$ boş kutu dizilmiştir. Aslı her kutuya ya kırmızı ya da beyaz top yerleştiriyor. Her hamlede Zehra birkaç ardışık kutu seçiyor ve Aslı seçilmiş kutuların en az yarısında bulunan bir renk söylüyor (seçilmiş kutuların yarısında kırmızı ve diğer yarısında beyaz top varsa Aslı herhangi bir renk söyleyebilir). Zehra $N$ hamle sonucunda tüm kutulardaki top renklerini belirlemeyi garantileyebiliyorsa, $N$ en az kaç olabilir?

$x,y,z$  pozitif gerçel sayılar olmak üzere $x \leq 1$  dir.

                                        $xy+y+2z \geq 4 \sqrt{xyz}$

olduğunu gösteriniz.

$101$ öğrencinin bulunduğu bir okulda her öğrencinin diğer öğrenciler arasında en az bir arkadaşı vardır. Her $1<n<101$  tam sayısı için bu okuldan $n$ öğrencinin öyle seçilebileceğini gösteriniz ki seçilen her öğrencinin seçilen diğer öğrenciler arasında en az bir arkadaşı olsun.

$m,n,a,k$  pozitif tam sayılar ve $k>1$  olmak üzere

                                          $5^m+63n+49=a^k$

eşitliği sağlanıyor. $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

Bir $ABCD$ paralelkenarında$,\ ABC$ nin çevrel çemberinin $A$ yı içermeyen $BC$ yayı üzerinde bir $P$ noktası ve $AC$ doğru parçasının $C$ tarafındaki uzantısı üzerinde bir $Q$ noktası $\angle{PBC} = \angle{CDQ}$ olacak biçimde alınıyor. $APQ$ nun çevrel çemberinin $AB$ doğrusuna teğet olduğunu gösteriniz.