Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme - 2022 Çözümleri
1
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $\Gamma$ çevrel çemberinin merkezi $O$ noktasıdır. $BC$ doğrusu üzerinde olup $[BC]$ nin dışında olan bir $P$ noktası alınıyor. $AP$ doğrusunun $\Gamma$ ile ikinci kesişim noktasının $OP$ ye göre simetriğine $K$ diyelim. $AK$ ile $OP$ doğrularının kesişimi $M$ olmak üzere, $\widehat{OMB}+\widehat{O MC}=180^{\circ}$ olduğunu gösteriniz.
2
$\{1,2, \ldots, n\}$ kümesinin bazı alt kümeleri seçildiğinde bunların hiçbirini kapsamayan bir alt kümeye ince diyelim. Herhangi ikisinin kesişimi en çok bir elemanlı olan üç elemanlı bazı alt kümeler nasıl seçilirse seçilsin, eleman sayısı $29$'u geçmeyen her ince kümeye, küme ince kalacak şekilde bir eleman eklenebiliyorsa $n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?
3
$a^7(a-1)=19 b(19 b+2)$ eşitliğini sağlayan tüm $(a, b)$ tam sayı ikililerini bulunuz.
Çözüm:
$x=19b$ için $$a^8-a^7=x^2+2x\implies a^8-a^7+1=(x+1)^2$$ olacaktır. $a^8-a^7+1$'in çarpanlara ayrılabileceğini görmek zor olabilir ama burada görülmesi istenilen $a^2-a+1$'in çarpan olduğudur. Bunu bilinen bir lemma ile gösterelim.
Lemma: $n,m$ doğal sayıları için $x^{3n+2}+x^{3m+1}+1$ polinomu $x^2+x+1$ ile bölünebilir.
İspatı için $(x^2+x+1)(x-1)=x^3-1$ olduğu kullanılabilir. Bu kısmı atlıyorum. Bu lemmadan dolayı $(x^2+x+1)\mid (x^8+x^7+1)$ olacaktır. $x$ yerine $-a$ yazarsak da $(a^2-a+1)\mid (a^8-a^7+1)$ olacaktır. Polinom bölmesi ile $$a^8-a^7+1=(a^2-a+1)(a^6-a^4-a^3+a+1)$$ olduğu bulunur. Bu terimlerin en büyük ortak bölenine Öklid algoritması ile bakarsak, $1$ veya $19$ olabileceği görülür ancak $19$ olamaz çünkü $(x+1)^2\equiv 1\pmod{19}$'dur. Dolayısıyla $a^2-a+1$ ve $a^6-a^4-a^3+a+1$ aynı anda tamkare olmalıdır. $t$ doğal sayısı için $$a^2-a+1=t^2\implies 4a^2-4a+4=(2a-1)^2+3=4t^2\implies 4t^2-(2a-1)^2=3$$ $$\implies (2t-2a+1)(2t+2a-1)=3$$ elde edilir. Buradan $t=\pm 1$ ve $a=0,1$ elde edilir. Yerine yazarsak, $b=0$ bulunur. Dolayısıyla tüm çözümler $(a,b)=(1,0),(0,0)$'dır.
4
Bir masanın üzerinde her biri boş olan $100$ kırmızı ve $k$ beyaz kova bulunmaktadır. Her işlemde bir kırmızı ve bir beyaz kova seçiliyor ve bunlara eşit miktarda su ekleniyor. Birkaç işlem sonucunda hiç boş kova kalmadığı ve en az bir işlemde beraber seçilmiş olan her kova ikilisi için bunların içinde eşit miktarda su bulunduğu görülüyor. Buna göre $k$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.
5
Bir yarım çemberin üzerinde $A, B, C$ noktaları verilmiştir. Yarım çembere $A$ da teğet olan doğrunun çapın uzantısını kestiği nokta $M$, $B$ de teğet olan doğrunun çapın uzantısını kestiği nokta $N$ dir. $A$ dan geçip çapa dik olan doğru $NC$ ile $R$ de, $B$ den geçip çapa dik olan doğru $MC$ ile $S$ de kesişiyor. $RS$ doğrusu çapın uzantısını $Z$ de kestiğine göre $ZC$ nin yarım çembere teğet olduğunu gösteriniz.
6
$$
x y z=1 \quad \text {ve} \quad \frac{y}{z}\left(y-x^2\right)+\frac{z}{x}\left(z-y^2\right)+\frac{x}{y}\left(x-z^2\right)=0
$$ eşitliklerini sağlayan $x,y,z$ pozitif gerçel sayılarının en büyüğü ile en küçüğünün toplamının ortancaya oranı en az kaç olabilir?
Çözüm:
İkinci eşitlikte her tarafı $xyz=1$ ile çarparsak, $$xy^2(y-x^2)+yz^2(z-y^2)+x^2z(x-z^2)=0$$ elde edilir. Düzenlersek, $$xy^3+yz^3+zx^3=x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2$$ elde edilir. Sol tarafa $x^2y^2z^2=1$, sağ tarafa $xyz=1$ ekleyip tek tarafta toplarsak $$(x^2-y)(y^2-z)(z^2-x)=0$$ elde edilir.
Genelliği bozmadan $x^2=y$ olsun. Bu durumda $z=\frac{1}{x^3}$ olacaktır. Şimdi $x,x^2,\frac{1}{x^3}$ terimlerini sıralayalım. $x=1$ ise hepsi birbirine eşit olacağından herhangi birini ortanca kabul edebiliriz.
$x>1$ ise $x^2>x>1>\frac{1}{x^3}$ olacağından $x$ ortancadır.
$x<1$ ise $x^2<x<1<\frac{1}{x^3}$ olacağından yine $x$ ortancadır. Dolayısıyla $x$ her zaman ortancadır diyebiliriz. Bu durumda aradığımız oran $$\frac{x^2+\frac{1}{x^3}}{x}=\frac{x^5+1}{x^4}$$ olacaktır. Aritmetik-Geometrik ortalama kullanmak için $x^5$'i $n$ parçaya bölelim. Bu durumda $$\frac{x^5+1}{n+1}=\frac{\frac{x^5}{n}+\frac{x^5}{n}+\cdots+\frac{x^5}{n}+1}{n+1}\geq \sqrt[n+1]{\frac{x^{5n}}{n^n}}$$ olur. Kök kısmından $x^4$ gelmesi için $n=4$ seçmeliyiz. Buradan $$\frac{x^5+1}{5}\geq \sqrt[5]{\frac{x^{20}}{4^4}}=\frac{x^4}{2^{\frac{8}{5}}}\implies \boxed{\frac{x^5+1}{x^4}\geq \frac{5}{2^{\frac{8}{5}}}}$$ elde edilir. Eşitlik durumu da $x^5=4$ yani $x=2^{\frac{2}{5}}$'dir.