Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $\Gamma$ çevrel çemberinin merkezi $O$ noktasıdır. $BC$ doğrusu üzerinde olup $[BC]$ nin dışında olan bir $P$ noktası alınıyor. $AP$ doğrusunun $\Gamma$ ile ikinci kesişim noktasının $OP$ ye göre simetriğine $K$ diyelim. $AK$ ile $OP$ doğrularının kesişimi $M$ olmak üzere, $\widehat{OMB}+\widehat{O MC}=180^{\circ}$ olduğunu gösteriniz.

$\{1,2, \ldots, n\}$ kümesinin bazı alt kümeleri seçildiğinde bunların hiçbirini kapsamayan bir alt kümeye ince diyelim. Herhangi ikisinin kesişimi en çok bir elemanlı olan üç elemanlı bazı alt kümeler nasıl seçilirse seçilsin, eleman sayısı $29$'u geçmeyen her ince kümeye, küme ince kalacak şekilde bir eleman eklenebiliyorsa $n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$a^7(a-1)=19 b(19 b+2)$ eşitliğini sağlayan tüm $(a, b)$ tam sayı ikililerini bulunuz.

Bir masanın üzerinde her biri boş olan $100$ kırmızı ve $k$ beyaz kova bulunmaktadır. Her işlemde bir kırmızı ve bir beyaz kova seçiliyor ve bunlara eşit miktarda su ekleniyor. Birkaç işlem sonucunda hiç boş kova kalmadığı ve en az bir işlemde beraber seçilmiş olan her kova ikilisi için bunların içinde eşit miktarda su bulunduğu görülüyor. Buna göre $k$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Bir yarım çemberin üzerinde $A, B, C$ noktaları verilmiştir. Yarım çembere $A$ da teğet olan doğrunun çapın uzantısını kestiği nokta $M$, $B$ de teğet olan doğrunun çapın uzantısını kestiği nokta $N$ dir. $A$ dan geçip çapa dik olan doğru $NC$ ile $R$ de, $B$ den geçip çapa dik olan doğru $MC$ ile $S$ de kesişiyor. $RS$ doğrusu çapın uzantısını $Z$ de kestiğine göre $ZC$ nin yarım çembere teğet olduğunu gösteriniz.

$$
x y z=1 \quad \text {ve} \quad \frac{y}{z}\left(y-x^2\right)+\frac{z}{x}\left(z-y^2\right)+\frac{x}{y}\left(x-z^2\right)=0
$$ eşitliklerini sağlayan $x,y,z$ pozitif gerçel sayılarının en büyüğü ile en küçüğünün toplamının ortancaya oranı en az kaç olabilir?