Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2022
1
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $|BC|<|AB|$ ve $|BC|<|AC|$ dir. $[AB]$ kenarı üzerinde bir $P$ ve $[AC]$ kenarı üzerinde bir $Q$ noktası $P \neq B,\ Q \neq C$ ve $|BQ|=|BC|=|CP|$ olacak şekilde alınıyor. $APQ$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $T,$ $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H,$ $BQ$ ve $CP$ doğrularının kesişim noktası $S$ olsun. $T,\ H$ ve $S$ noktalarının aynı doğru üzerinde olduklarını gösteriniz.
2
$\mathbb N =\{1,2,3,...\}$ tüm pozitif tam sayılar kümesi olsun. Tüm $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için
(1) $f(ab)=f(a)f(b)$ ve
(2) $f(a),\ f(b)$ ve $f(a+b)$ sayılarının en az ikisi eşittir.
koşullarının her ikisini sağlayan bütün $f: \mathbb N \to \mathbb N$ fonksiyonlarını bulunuz.
3
Pozitif tam sayılardan oluşan sonsuz $a_1,a_2,...$ dizisinde
(1) $a_1$ tam kare ve
(2) her $n \geq 2$ tam sayısı için $a_n,$
$na_1+(n-1)a_2+ \cdots +2a_{n-1}+a_n$
ifadesini tam kare yapan en küçük pozitif tam sayı ise
bu diziye iyi dizi diyelim. İspat ediniz ki$,$ her $a_1,a_2,...$ iyi dizisi için öyle bir $k$ pozitif tam sayısı vardır ki tüm $n \geq k$ tam sayıları için $a_n=a_k$ olsun.
4
$n \geq 2$ verilmiş bir pozitif tam sayı olmak üzere$,$ $N$ pozitif tam sayısının en büyük hangi değerinde öyle $N+1$ tane gerçel $a_0,a_1,...,a_N$ sayısı bulunur ki
(1) $a_0+a_1=-\dfrac1n,$ ve
(2) her $1 \leq k \leq N-1$ için $(a_k+a_{k-1})(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1}$
olsun?
5
$n,k$ pozitif tam sayıları için $n \times 2k$ satranç tahtasının tamamını $nk$ tane $2 \times 1$ boyutlarındaki dikdörtgen taşla kapatmaların sayısına $f(n,2k)$ diyelim. (Örnek olarak$,$ $f(2,2)=2$ ve $f(3,2)=3$.) $n$ pozitif tam sayısının hangi değerleri için $f(n,2k)$ sayısı$,$ $k$ pozitif tam sayısının tüm değerlerinde tek sayıdır?
6
Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $A$ ve $B$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $X,$ $B$ ve $C$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $Y,$ $C$ ve $D$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $Z,$ $D$ ve $A$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $W$ olsun. $AC$ ve $BD$ doğruları $P$ noktasında kesişsin. $X,Y,Z,W,O$ ve $P$ noktaları birbirinden farklı olsun.
İspat ediniz ki $O,X,Y,Z$ ve $W$ noktalarının çemberdeş olmasının gerek ve yeter koşulu $P,X,Y,Z$ ve $W$ noktalarının çemberdeş olmasıdır.