Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $|BC|<|AB|$ ve $|BC|<|AC|$ dir. $[AB]$ kenarı üzerinde bir $P$ ve $[AC]$ kenarı üzerinde bir $Q$ noktası $P \neq B,\ Q \neq C$ ve $|BQ|=|BC|=|CP|$ olacak şekilde alınıyor. $APQ$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $T,$  $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H,$  $BQ$ ve $CP$ doğrularının kesişim noktası $S$ olsun. $T,\ H$ ve $S$ noktalarının aynı doğru üzerinde olduklarını gösteriniz.

$\mathbb N =\{1,2,3,...\}$ tüm pozitif tam sayılar kümesi olsun. Tüm $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için

     (1) $f(ab)=f(a)f(b)$ ve

     (2) $f(a),\ f(b)$ ve $f(a+b)$ sayılarının en az ikisi eşittir.

koşullarının her ikisini sağlayan bütün $f: \mathbb N \to \mathbb N$ fonksiyonlarını bulunuz.

Pozitif tam sayılardan oluşan sonsuz $a_1,a_2,...$ dizisinde

     (1) $a_1$ tam kare ve

     (2) her $n \geq 2$ tam sayısı için $a_n,$

                                      $na_1+(n-1)a_2+ \cdots +2a_{n-1}+a_n$

           ifadesini tam kare yapan en küçük pozitif tam sayı ise

bu diziye iyi dizi diyelim. İspat ediniz ki$,$ her $a_1,a_2,...$ iyi dizisi için öyle bir $k$ pozitif tam sayısı vardır ki tüm $n \geq k$ tam sayıları için $a_n=a_k$ olsun.

$n \geq 2$ verilmiş bir pozitif tam sayı olmak üzere$,$ $N$ pozitif tam sayısının en büyük hangi değerinde öyle $N+1$ tane gerçel $a_0,a_1,...,a_N$ sayısı bulunur ki

     (1) $a_0+a_1=-\dfrac1n,$ ve

     (2) her $1 \leq k \leq N-1$ için $(a_k+a_{k-1})(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1}$

olsun?

$n,k$  pozitif tam sayıları için $n \times 2k$ satranç tahtasının tamamını $nk$ tane $2 \times 1$ boyutlarındaki dikdörtgen taşla kapatmaların sayısına $f(n,2k)$ diyelim. (Örnek olarak$,$ $f(2,2)=2$ ve $f(3,2)=3$.) $n$ pozitif tam sayısının hangi değerleri için $f(n,2k)$ sayısı$,$ $k$ pozitif tam sayısının tüm değerlerinde tek sayıdır?

Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $A$ ve $B$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $X,$  $B$ ve $C$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $Y,$  $C$ ve $D$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $Z,$  $D$ ve $A$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $W$ olsun.  $AC$ ve $BD$ doğruları $P$ noktasında kesişsin. $X,Y,Z,W,O$ ve $P$ noktaları birbirinden farklı olsun.

    İspat ediniz ki $O,X,Y,Z$ ve $W$ noktalarının çemberdeş olmasının gerek ve yeter koşulu $P,X,Y,Z$ ve $W$ noktalarının çemberdeş olmasıdır.