Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 1999 - Lise 3 Çözümleri

$2000$'den küçük pozitif $n$ tamsayılarından kaç tanesi için $n^{2000}-1$ sayısı $10$ ile tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 300  \qquad\textbf{c)}\ 400  \qquad\textbf{d)}\ 600  \qquad\textbf{e)}\ 800$

$A=\underbrace{999...999}_{\text{81 tane 9}}$ sayısı için, $A^2$ nin rakamları toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 639  \qquad\textbf{b)}\ 729  \qquad\textbf{c)}\ 819  \qquad\textbf{d)}\ 873  \qquad\textbf{e)}\ 981$

$1 \times 19$ boyutlarında bir dikdörtgen, şekilde görüldüğü gibi, $19$ tane eşit kareye bölünmüş ve karelerin köşeleri işaretlenmiştir. Köşeleri, işaretlenmiş noktalarda bulunan kaç tane ikizkenar üçgen çizilebilir?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 216  \qquad\textbf{c)}\ 228  \qquad\textbf{d)}\ 244  \qquad\textbf{e)}\ 256$

Kenar uzunluğu $2\sqrt3$ olan eşkenar üçgenin içteğet çemberi çiziliyor. Üçgenin içinde ve çemberin dışında kalan üç bölgeden her birinin içine, hem kenarlara hem de çembere teğet olan birer çember çiziliyor. Bu işlem, köşelere doğru sonsuz kez tekrarlanıyor. Böylece ortaya çıkan tüm dairelerin alanlarının toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{13 \pi}{96}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11 \pi}{8}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9 \pi}{8}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11 \pi}{96}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9 \pi}{10}$

$99$ doğru, düzlemi $n$ parçaya bölmüştür. $n$'nin $300$'ü aşmadığı biliniyorsa, $n$'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 3$

$\dfrac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}+x^2-4=0$ denkleminin kaç reel kökü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 6$

$B=10^{10^7}+10^{10^6}+10^{10^5}+10^{10^4}$ sayısı $7$'ye bölündüğünde kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 5$

$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ \text{sonsuz}  \qquad\textbf{e)}\ \text{hiçbiri}$

$F(x)$ ve $f(x)$ fonksiyonları tüm reel eksende verilmiş reel değerli fonksiyonlar olmak üzere, her $x$ ve $y$ için $F(x+f(y))=3x+y+7$ eşitliği sağlanmaktadır. $f(2+F(7))$ değerini bulunuz.

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 13  \qquad\textbf{e)}\ 14$

$x$ ve $y$, iki basamaklı sayılar olup, $x<y$'dir. $x \cdot y$ çarpımı $2$ ile başlayan dört basamaklı bir sayıdır. Eğer bu $2$'yi silersek, geriye kalan üç basamaklı sayı $(x+y)$'ye eşit oluyor. Bu özelliğe sahip kaç tane $(x,y)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{hiçbiri}$

Bir küpün her bir yüzünü, siyah veya beyaza boyuyoruz. (Bütün yüzleri aynı renkle boyamaya da izin veriliyor.) Kaç farklı durum söz konusudur? (Küpün herhangi bir dönmesi sonucunda çakışabilen durumlar aynı kabul ediliyor.)

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 26$

$3^3+5^3+7^3+...+1999^3$ sayısını $999000$ sayısına bölünce kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 1997  \qquad\textbf{b)}\ 998  \qquad\textbf{c)}\ 1998  \qquad\textbf{d)}\ 999  \qquad\textbf{e)}\ 0$

Açılarının derece cinsinden ölçüleri birer tamsayı ve $\hat{A}<\hat{B}<\hat{C}$ olmak koşuluyla, kaç tane geniş açılı $ABC$ üçgeni oluşturulabilir?

$\textbf{a)}\ 1936  \qquad\textbf{b)}\ 1982  \qquad\textbf{c)}\ 1990  \qquad\textbf{d)}\ 1946  \qquad\textbf{e)}\ 1850$

Cahit öğretmen ve öğrencisi Kemal tanıştıklarında her ikisinin de yaşları doğum yıllarının rakamlarının toplamına eşit idi. Cahit öğretmen ve Kemal aynı binyılda doğduklarına göre aralarındaki yaş farkı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 30$

Mutlu'nun, hepsi $1$ ve $5$ milyonluk banknotlardan oluşan $A$ milyon lirası vardır. Mutlu, bu paranın üçte ikisi olan $B$ milyonunu harcadıktan sonra elinde kalan $5$ milyonluk banknotların sayısının başlangıçtaki $1$ milyonluk banknotlar kadar ve $1$ milyonlukların sayısının da başlangıçtaki $5$ milyonluklar kadar olduğunu fark ediyor. $110<A<150$ olduğuna göre $A-B$ farkının rakamlar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 12$

Düzlemde $xOy$ dik koordinat sisteminde $x^2+y^2=9$ çemberine $(2, \sqrt5)$ noktasında teğet olan ve $(4, \sqrt5)$ noktasından geçen çemberin sınırladığı bölgenin alanı kaç $\pi$'dir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac92  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac94$

Çevrel çemberinin merkezi $O,$ $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ olan bir $ABC$ üçgeninin yüksekliklerinin kesişim noktası $H,\ [AH \cap [BC]=\{E\}$ olmak üzere$,$ $|OD|=|DE|$ ve $A(AODH)=9$ ise$,$ $|OD|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac94  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac52$

Merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $3$ olan bir çemberin bir çapı $[AB]$ ve bu çapı $45^{\circ}$ lik açı ile kesen bir kirişi $[CD]$ olmak üzere$,$ $[CM] \perp [AB],$ $[DN] \perp [AB];$  $M,N \in [AB]$ ve $|CM|=2$ ise$,$ $|DN|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt5  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt3-\sqrt2$

Şekilde, $ABCD$ bir kare ve $C,A,F$ noktaları doğrusal olmak üzere $DEFA$ bir eşkenar dörtgendir. $[EC] \cap [FD]=\{K\}$ olsun. $\dfrac{|KA|}{|KC|}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt2+1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac23  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2-1$

Şekilde, $\widehat{xOy}$ sabit bir açı, $|OA|=1$ ve $|AB|=2$'dir. $C$ noktası, $[Oy$ ışını üzerinde hareket eden bir nokta olmak üzere, $\widehat{ACB}$ açısı en büyük iken, $|OC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 1$