Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 1998 - Lise 3 Çözümleri

Bir $4$ basamaklı sayının rakamlarının ters sırada dizilmesinden elde edilen $4$ basamaklı sayı ilk verilen sayının $4$ katı olmaktadır. Bu sayının rakamlar toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 17  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 20$

Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ y=||x|-1|+1  \qquad\textbf{b)}\ y=|x-1|-1  \qquad\textbf{c)}\ y=|x^2-1|  \qquad\textbf{d)}\ y=||x|+1|+1  \qquad\textbf{e)}\ y=|x-1|+|x+1|$

$2x^2-3x=2x\sqrt{x^2-3x}+1$ denkleminin kaç reel çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{sonsuz}$

$[a]$ ile reel $a$ sayısının tam kısmı gösterildiğine göre $x-\left[ x \right]=[(0,5)x-2]$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$

Şekilde görülen yaylar $P$ merkezli ve $N$ merkezli çemberlerin yaylarıdır. $\hat{BAC}$ açısı $22^{\circ}$ olduğuna göre $\hat{ACB}$ açısının ölçüsü kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 44  \qquad\textbf{b)}\ 46  \qquad\textbf{c)}\ 54  \qquad\textbf{d)}\ 57  \qquad\textbf{e)}\ 68$

Her yıldız (*) bir rakam olmak üzere$,$

       

ifadesindeki çarpımın rakamları toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 21  \qquad\textbf{b)}\ 19  \qquad\textbf{c)}\ 17  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 15$

Şekilde $ABCD,\ DCEF,\ FEKL$ kareler ise$,$  $\alpha + \beta$ neye eşittir?

$\textbf{a)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 36^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 50^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 60^{\circ}$

Bir $ABCD$ yamuğunun köşegenleri birbirine dik olmak üzere, uzunlukları $5$ ve $12$'dir. Yamuğun orta tabanının uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6,5  \qquad\textbf{d)}\ 8,5  \qquad\textbf{e)}\ 8$

Her üçü de sıfırdan farklı $x(y-z),\ y(z-x),\ z(x-y)$ sayıları bir geometrik dizi oluşturmaktadır. Dizi çarpanı $q$ ise$,\ q$ aşağıdaki denklemlerden hangisini sağlar?

$\textbf{a)}\ q^4+q^2-1=0  \qquad\textbf{b)}\ q^4-q^2+1=0  \qquad\textbf{c)}\ q^2+q-1=0 \\ \textbf{d)}\ q^2-q+1=0  \ \ \qquad\textbf{e)}\ q^2+q+1=0$

$x^2+y^2=x^3$ denklemini sağlayan $(x,y)$ doğal sayı ikililerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$A$ açısı dik olan $ABC$ üçgeninde $[AH]$ yüksekliği çizilmiştir. $ABH$ üçgeninin içteğet çemberinin alanı $S_1,$  $AHC$ üçgeninin içteğet çemberinin alanı $S_2,$  $|AB|=c,$  $|AC|=b,$  $|BH|=p$ ve $|HC|=k$ ise$,$  $\dfrac{S_2}{S_1}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{b^2}{c^2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{k^2}{p^2}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{\dfrac pk}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{bp}{ck}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{bk}{cp}$

$101 \cdot 102 \cdot 103 \cdot \ ...\ \cdot 300=7^k \cdot n,\ (k,n \in \mathbb N)$ eşitliğini sağlayan en büyük $k$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 26  \qquad\textbf{b)}\ 42  \qquad\textbf{c)}\ 49  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 32$

$K$ noktasından kalkan bir gezgin $m$ X $n$ tane noktadan oluşan matris üzerindeki noktalardan geçerek $L$ noktasına ulaşmak istemektedir. Gezi sırasında uygulanacak kurallar şunlardır:

(a) Bir satırdan yukardaki satıra geçerken istenilen nokta seçilebilir.
(b) Hareketler yukarı, sola ve sağa olabilir; geçilen bir noktadan bir daha geçmek ve aşağı dönmek yasaktır.

Buna göre, bu gezi kaç değişik biçimde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ m!n!  \qquad\textbf{b)}\ m^{2n}  \qquad\textbf{c)}\ n^m  \qquad\textbf{d)}\ m^n  \qquad\textbf{e)}\ n^{2m}$

Bir kübün yüzlerinin belirlediği düzlemler, uzayı kaç parçaya ayırır?

$\textbf{a)}\ 16  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 25  \qquad\textbf{d)}\ 27  \qquad\textbf{e)}\ 32$

Pazar günleri dışında hiç yalan söylemeyen, ancak Pazar günleri hep yalan söyleyen bir kişi, haftanın hangi günlerinde "Eğer dün yalan söylemediysem, yarın yalan söyleyeceğim." diyebilir?

$\textbf{a)}$ Sadece Cumartesi
$\textbf{b)}$ Sadece Pazar
$\textbf{c)}$ Sadece Pazartesi
$\textbf{d)}$ Sadece Cumartesi ve Salı
$\textbf{e)}$ Sadece Cumartesi, Pazar ve Pazartesi

Bir parkta, şekilde görüldüğü gibi, iki girişi ( A ve B ) olan bir yol ağı bulunmaktadır. Bu parkta, girişlerden birinden başlayıp her yoldan her iki yönde de tam bir kez geçmek ve hiç U-dönüşü yapmamak koşuluyla bir tur yürüyüş kaç farklı biçimde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$P(x)=(1+x+x^2+ ... +x^{99}+x^{100})^3$ polinomunda parantezler açıldıktan sonra, $x^{111}$ in katsayısı ne olacaktır?

$\textbf{a)}\ 6432  \qquad\textbf{b)}\ 6328  \qquad\textbf{c)}\ 6130  \qquad\textbf{d)}\ 5640  \qquad\textbf{e)}\ 5600$

$\mathbb N_0= \{0,1,2,...\}$ olmak üzere $f: \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \to \mathbb N_0$ fonksiyonu her $(x,y) \in \mathbb N_0 \times \mathbb N_0$ için

$f(0,y)=y+1 \quad f(x+1,0)=f(x,1)$ ve $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$

eşitliklerini sağlamaktadır.  $f(1,1998)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 1998  \qquad\textbf{b)}\ 1999  \qquad\textbf{c)}\ 2000  \qquad\textbf{d)}\ 2002  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

İki çocuk birlikte $10$ menekşe, $15$ lale, $14$ karanfil topladı. Her çocuğa, her çiçekten en az $3$'er tane düşmek üzere, tüm çiçekler kaç farklı şekilde bölüştürülür?

$\textbf{a)}\ 2640  \qquad\textbf{b)}\ 1998  \qquad\textbf{c)}\ 900  \qquad\textbf{d)}\ 450  \qquad\textbf{e)}\ 120$

Reel sayıların bir geometrik dizisinde ilk iki terimin toplamı $7$ ve ilk altı terimin toplamı da $91$'dir. İlk dört terimin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 25  \qquad\textbf{b)}\ 28  \qquad\textbf{c)}\ 32  \qquad\textbf{d)}\ 35  \qquad\textbf{e)}\ 49$