Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama

$11^{100}-1$ sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{C}$

İfadeyi açalım, $$11^{100}-1=(10+1)^{100}-1=-1+\sum_{k=0}^{100}\dbinom{100}{k}10^k=\sum_{k=1}^{100}\dbinom{100}{k}10^k$$ olacaktır. İlk birkaç terimi inceleyelim. $$11^{100}-1=100\cdot 10^1+50\cdot 99\cdot 10^2+\dbinom{100}{3}10^3+\cdots=10^3\left(1+495+\dbinom{100}{3}+\dbinom{100}{4}10+\dbinom{100}{5}10^2\cdots\right)$$ olacaktır. Parantez içindeki toplamın $10$'un katı olmadığı barizdir. Dolayısıyla $11^{100}-1$, $10$'nun en fazla üçüncü kuvvetine bölünür. Dolayısıyla son $3$ basamağı $0$'dır.

$S=1 \cdot (1!)+2 \cdot (2!)+3 \cdot (3!)+...+10 \cdot (10!)$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 11!-1 \qquad\textbf{b)}\ 11!+9 \qquad\textbf{c)}\ 12!-1 \qquad\textbf{d)}\ 12!+9 \qquad\textbf{e)}\ 10 \cdot 11!-1$

Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı tüm öğrencilerin sayısının $\%50$'sinden az, $\%40$'ından fazladır. Bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 13$

$|x|+|y|<20$ eşitsizliğinin tam sayı çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 400 \qquad\textbf{b)}\ 600 \qquad\textbf{c)}\ 661 \qquad\textbf{d)}\ 761 \qquad\textbf{e)}\ 790$

Çözüm:

Cevap: $\boxed{D}$

Birinci Yol: $|x|=0$ ise $y$'nin alabileceği $-19,-18,\dots,18,19$'dan $39$ değer vardır. Benzer şekilde $|y|=0$ için de $39$ çözüm vardır. $(x,y)=(0,0)$'ı iki kere saydığımızdan bu durumlardan $39+39-1=77$ çözüm gelir. Şimdi $x,y\neq 0$ alalım.

$|x|$ değeri $1,2,\dots,18$ değerlerini alabilir. Her biri için iki tane $x$ değeri vardır. $|x|=k$ için $$|y|<20-k\implies |y|=1,2,\dots,19-k$$ olur. Buradan $2\cdot 2\cdot (19-k)=76-4k$ çözüm gelir. Dolayısıyla $$77+\sum_{k=1}^{18} (76-4k)=77+76\cdot 18-\frac{4\cdot 18\cdot 19}{2}=761$$ çözüm vardır.

İkinci Yol: $|x|+|y|=n$ eşitliğinin $a_n$ çözümü olsun. Bu durumda $|x|+|y|<20$'nin $a_0+a_1+\cdots+a_{19}$ çözümü vardır. İlk birkaç durumu incelersek $a_0=1$, $a_1=4$ bulunur. $a_n$ için $$|x|+|y|=n\implies (|x|,|y|)=(0,n),(1,n-1),\dots,(n,0)$$ bulunur. Buradan da $2+2+4(n-1)=4n$ çözüm vardır, yani $a_n=4n$ olacaktır. Dolayısıyla $$\sum_{k=0}^{19}a_k=1+\sum_{k=1}^{19} 4k=1+\frac{4\cdot 19\cdot 20}{2}=761$$ bulunur.

Dört sayının ikişer ikişer toplanmasıyla elde edilen altı sayı küçükten büyüğe doğru dizilince dizilişin ilk dört terimi $1,5,8,9$ oluyor. Son terim nedir?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 17$

Ayşe, Bilge, Canan ve Deniz adlı dört kız bir konser verdiler. Konserde her şarkıyı 3 kız birlikte okudular. En çok şarkıyı Ayşe okudu : 8 şarkı. En az şarkıyı Bilge okudu : 5 şarkı. Konserde toplam kaç şarkı okunmuştur?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 13$

$1996$ sayısı iki pozitif tam sayının toplamı olarak kaç farklı şekilde yazılabilir? (Not : $a+b$ ve $b+a$ yazılışlarını farklı kabul ediyoruz.)

$\textbf{a)}\ \dfrac{1996}{2} \qquad\textbf{b)}\ 1995 \qquad\textbf{c)}\ 1996 \qquad\textbf{d)}\ 2 \cdot 1995 \qquad\textbf{e)}\ 1995 \cdot 1996$

$(x-1)(x-2)(x-3)...(x-99)(x-100)$ ifadesinde parantezler açılarak

$x^{100}+a_1x^{99}+a_2x^{98}+...+a_{99}x+a_{100}$

polinomu elde ediliyor. $a_1$ katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 5005 \qquad\textbf{b)}\ -4004 \qquad\textbf{c)}\ -4545 \qquad\textbf{d)}\ -5500 \qquad\textbf{e)}\ -5050$

$x<y<z$ asal sayıları $\begin{cases}
\qquad x+y+z=68 \\
x \cdot y+y \cdot z+z \cdot x=1121
\end{cases}$ denklem sisteminin bir çözümü ise, $y \cdot z$ çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 893 \qquad\textbf{b)}\ 919 \qquad\textbf{c)}\ 957 \qquad\textbf{d)}\ 989 \qquad\textbf{e)}\ 1003$

Matematik olimpiyadında $20$ soru sorulmuştur. Değerlendirmede, her doğru çözülmüş soru için $8$ puan veriliyor, her yanlış çözülmüş soru için $5$ puan geri alınıyor ve hiç çözülmemiş soru için de $0$ puan veriliyor. Olimpiyada katılan bir öğrenci, bu değerlendirmeye göre $13$ puan almışsa, kaç tane problemi (doğru veya yanlış) çözmüştür?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ 15$

Bir geometrik dizinin $m$-inci terimi $27$, $n$-inci terimi $8$, $p$-inci terimi de $12$ olduğuna göre $m$, $n$ ve $p$ aşağıdaki bağıntılardan hangisini sağlar?

$\textbf{a)}\ m-2n=p \qquad\textbf{b)}\ m+2n=3p \qquad\textbf{c)}\ m+n=p \qquad\textbf{d)}\ m+p=n \qquad\textbf{e)}\ n+p=m$

Aşağıdaki beş diziden kaç tanesinin limiti vardır?

$
\begin{array}{rcll}
\text{I.} & & 1,1,1,...,1,... \\
\text{II.} & & 0,1,0, \dfrac12,0, \dfrac13,...,0, \dfrac1n, 0, \dfrac{1}{n+1},... \\
\text{III.} & & (0,2),(0,22),(0,222),(0,2222),... \\
\text{IV.} & & \dfrac{\sin 1}{1}, \dfrac{\sin 2}{2}, \dfrac{\sin 3}{3},..., \dfrac{\sin n}{n},... \\
\text{V.} & & 0,\dfrac32, \dfrac{-2}{3}, \dfrac54, \dfrac{-4}{5},..., \left( (-1)^n+ \dfrac1n \right) ,...
\end{array}$

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

$33$ farklı nesne, her kişiye $11$ 'er nesne düşmek üzere, üç kişiye kaç farklı şekilde paylaştırılabilir?

$\textbf{a)}\ \dbinom{33}{11} \dbinom{22}{11} \qquad\textbf{b)}\ \dbinom{33}{11} + \dbinom{22}{11} \qquad\textbf{c)}\ \dbinom{33}{11} \qquad\textbf{d)}\ 11! \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{33!}{11!}$

$a$,$b$,$c$,$d$ reel sayılar, $0 \leq a \leq b \leq c \leq d$ ve $a+b+c+d=4$ ise, $b+c$ 'nin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac83 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{10}{3} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac72 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{15}{4}$

Bir kareli kağıt üzerindeki karelerin köşe noktalarına kafes noktaları denir. Kenar uzunluğu $1$ cm olan küçük karelere bölünmüş, $204$x$272$ cm boyutlarında dikdörtgen biçiminde bir kareli kağıt düşününüz. Kafes noktaları bu dikdörtgenin köşegenini kaç parçaya böler?

$\textbf{a)}\ 62 \qquad\textbf{b)}\ 64 \qquad\textbf{c)}\ 68 \qquad\textbf{d)}\ 70 \qquad\textbf{e)}\ 71$

Üç avcı bir hedefe ateş ediyorlar. Bu avcılardan birincisinin hedefi vurma olasılığı $\dfrac12$, ikincisinin hedefi vurma olasılığı $\dfrac13$ ve üçüncüsünün hedefi vurma olasılığı $\dfrac14$' tür. Bu avcılar üçü birden aynı hedefe birer kez ateş ettiklerinde hedefe tam iki vuruşun isabet etme olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac14 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{8} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{12} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{2}$

Kenarları $a$ ve $b$ cm ($a < b$ ) olan paralelkenarın uzun kenarlarına dik olan bir doğru, paralelkenarı öyle iki yamuğa bölüyor ki, bu yamuklardan her ikisine de içteğet çember çizilebiliyor. Bu durumda, paralelkenarın dar açısının sinüsü aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{b}{a+b} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{a}{a+b} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{a}{b} \qquad\textbf{d)}\ 1-\dfrac{a}{b} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{b}{a}-1$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

Paralelkenarın yüksekliği $h$ olsun. Teğetler dörtgeninde, karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı birbirine eşit olduğundan $a+h=(b-x) + x=b$ olup $h=b-a$ bulunur. O halde şekilden, $\sin \theta = \dfrac{h}{a} = \dfrac{b-a}{a} = \dfrac{b}{a} - 1$ elde edilir.

Bir kenarının uzunluğu $15$ cm olan $ABC$ eşkenar üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $|BD|=5$ cm olacak biçimde bir $D$ noktası ve $[AB]$ kenarı üzerinde $|AE|=|ED|$ olacak biçimde bir $E$ noktası alınıyor. $|CE|$ uzunluğu kaç cm dir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 13 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 16$

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|$ ve $\widehat{CAB}$ açısı $20^{\circ}$ dir. $[AB]$ kenarı üzerinde, $\widehat{BCD}$ açısı $50^{\circ}$ olacak biçimde bir $D$ noktası ve $[AC]$ kenarı üzerinde, $\widehat{CBE}$ açısı $60^{\circ}$ olacak biçimde bir $E$ noktası alınıyor. $\widehat{DEB}$ açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 20^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 25^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 30^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 35^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 40^{\circ}$

Şekilde yarıçapı $R$ ve $r$ ($R > r$) olan iki çember $A$ noktasında birbirine teğettir. Büyük çember üzerinde alınmış bir $B$ noktasından küçük çembere $C$ noktasında teğet olan bir doğru çizilmiştir. $|AB|=a$ ise, $|BC|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a \sqrt{1+\dfrac{r}{R}} \qquad\textbf{b)}\ a \dfrac{R+r}{R-r} \qquad\textbf{c)}\ a \sqrt{\dfrac{R+r}{R-r}} \qquad\textbf{d)}\ a \sqrt{\dfrac{R}{R+r}} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{a^2+R^2+r^2}$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 1996 Çözümleri