Balkan Matematik Olimpiyatı - 2021

Bir $ABC$ üçgeninde $AB<AC$ dir ve $A$ noktası, $B$ ve $C$ den geçen $\omega$ çemberinin içinde yer almaktadır. $X$ ve $Y$ noktaları, $\angle{BXA}=\angle{AYC}$ olacak şekilde $\omega$ üzerinde iki noktadır. $X$ ve $C,\ AB$ doğrusunun farklı taraflarındadır. $Y$ ve $B,\ AC$ doğrusunun farklı taraflarındadır. $X$ ve $Y$ noktaları $\omega$ üzerinde değiştikçe $XY$ doğrusunun sabit bir noktadan geçtiğini gösteriniz.

Her $x,y \in (0, +\infty)$ için
$$f\big( x + f(x) + f(y) \big)=2f(x)+y$$
şartını sağlayan tüm $f:(0, +\infty) \to (0, +\infty)$ fonksiyonlarını bulunuz.

$a,b$ ve $c$ aşağıdaki denklemi sağlayan pozitif tam sayılar olsun:
$$(a,b)+[a,b]=2021^c$$
Eğer $|a-b|$ bir asal sayı ise $(a+b)^2+4$ sayısının bileşik sayı olduğunu ispatlayınız.

Burada, $(a,b); \ a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğünü, $[a,b]$ ise $a$ ve $b$ sayılarının ortak katlarının en küçüğünü göstermektedir.