Tübitak Lise Takım Seçme - 2022

$$2^p = 2^{q-2} + q!$$ eşitliğini sağlayan tüm $(p,q)$ asal sayı ikililerini bulunuz.

Her $x,y \in \mathbb Q^+$ için $$f(x)+f(y) = \left ( f(x+y) + \dfrac {1}{x+y} \right )(1-xy+f(xy))$$ eşitliğini sağlayan tüm $f: \mathbb Q^+ \to \mathbb Q$ fonksiyonlarını bulunuz.

$ABC$ üçgeninde $I$ merkezli iç teğet çemberin $BC$, $AC$, $AB$ kenarlarına değme noktaları sırasıyla $D$, $E$, $F$ dir. $I$ dan geçen bir $\ell$ doğrusuna $A$, $B$, $C$ den indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $X$, $Y$, $Z$ olsun. $DX$, $EY$, $FZ$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

Kesişmeyen ve farklı büyüklükte olan $\omega_1$ ve $\omega_2$ çemberi $\ell$ doğrusuna sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında, $\Gamma$ çemberine ise sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında teğettir ve üç çember de $\ell$ nin aynı tarafında yer almaktadır. $K$ ve $L$ den geçen bir çemberin $\Gamma$ ile kesişim noktaları $A$ ve $B$; $M$ ve $N$ nin $\ell$ ye göre yansımaları ise sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $A$, $B$, $R$, $S$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Bir çember üzerinde eşit aralıklı $2022$ nokta işaretlenmiştir. Uç noktaları işaretlenmiş noktalar olan farklı uzunluktaki $k$ yayın hiçbiri bir diğerinin içinde olmadığına göre, $k$ yayın hiçbiri bir diğerinin içinde olmadığına göre, $k$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

$P$ tam katsayılı bir polinom ve $p$ bir asal olmak üzere $p \mid P(n)$ olmasını sağlayan bir $n$ tam sayısı yoksa $P$ polinomu $p$ asalını dışlıyor diyelim. Tam olarak bir asalı dışlayan ve rasyonel kökü bulunmayan beşinci dereceden tam katsayılı bir polinom var mıdır?

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $$xy+yz+zx+\dfrac 1x+\dfrac 2y+\dfrac 5z$$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$|AB| < |BC| < |CA|$ olan bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çemberin merkezi $I$ olmak üzere $IBC$, $IAC$, $IAB$ üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla $H_A$, $H_B$, $H_C$ olsun. $H_BH_C$ nin $BC$ ile kesişimi $K_A$; $I$ dan geçip $H_BH_C$ ye dik olan doğrunun $BC$ ile kesişimi ise $L_A$ olsun. $K_B$, $L_B$, $K_C$, $L_C$ noktaları da benzer şekilde tanımlandığında göre, $$|K_AL_A| = |K_BL_B| + |K_CL_C|$$ olduğunu gösteriniz.

Döngü içermeyen, $2022$ köşeli her çizgede köşelerden $k$ tanesi öyle seçilebiliyor ki seçilen herhangi bir köşeden seçilen en çok iki köşeye kenar bulunuyor. Buna göre $k$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.