Tübitak Lise 2. Aşama - 2021 Çözümleri

1

Başlangıçta masadaki iki kutudan biri boş olup, diğerinde farklı renkli $29$ bilye bulunmaktadır. Dolu kutuyla başlamak ve kutulara sırayla hamle yapmak üzere her hamlede sırası gelen kutudan bir veya birkaç bilye seçilip diğer kutuya aktarılıyor. Aynı bilye öbeği bir defadan fazla seçilmeden en çok kaç hamle yapılabilir?

2

Derecesi $d$ olan gerçel katsayılı bir polinomun en az $d$ adet katsayısı $1$'e eşit olup $d$ adet gerçel kökü varsa $d$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

(Not: Polinomun kökleri birbirinden farklı olmak zorunda değildir.)

Çözüm:

$d=1,2$ için bu şekilde bir polinom kolaylıkla bulabiliriz. Örneğin, $P(x)=x-1$ ve $Q(x)=x^2-2x+1$.

$d\geq 3$ için bu şartı sağlayan polinomları inceleyelim. Toplam $d+1$ tane katsayı olduğundan en fazla bir tane katsayı $1$'den farklı olabilir. $$P(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots + a_1x+a_0$$ ve köklerine $x_1,x_2,\dots,x_d$ diyelim. $$x_1^2+x_2^2+\cdots x_d^2=(x_1+x_2+\cdots+x_d)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{d-1}x_d)$$ $$\implies \frac{a_{d-1}^2}{a_d^2}-\frac{2a_{d-2}}{a_d}\geq 0$$ olduğundan $a_d,a_{d-1},a_{d-2}$'den biri $1$'den farklı olmalıdır. Yani $a_{d-3},a_{d-4},\dots, a_0$ katsayılarının hepsi $1$ olmalıdır. $a_0\neq 0$ olduğundan kökler $0$'dan farklıdır. $i=1,2,\dots, d$ için kökleri $\frac{1}{x_i}$ olan bir polinom yazalım. $$P\left(\frac{1}{x}\right)=a_0\left(\frac{1}{x}\right)^{d}+a_1\left(\frac{1}{x}\right)^{d-1}+\cdots+a_{d-1}\left(\frac{1}{x}\right)^{1}+a_d$$ olacağından $Q(x)=a_0x^d+a_1x^{d-1}+\cdots + a_{d-1}x+a_d$ polinomunun kökleri $\frac{1}{x_i}$'lerdir. Bu polinom da soruda verilen şartları sağladığından benzer şekilde $a_0,a_1,a_2$'den biri $1$'den farklı, kalan terimler $1$ olmalıdır. Eğer $d\geq 5$ olursa polinomda $1$'den farklı en az $2$ katsayı olması gerekir. Dolayısıyla $d\leq 4$'dür.

Sadece $d=4$'e örnek vermek yeterlidir. Yukarıdaki çözümden sadece $x^2$'nin katsayısının farklı olması gerektiğini söyleyebiliriz. $$P(x)=x^4+x^3+Ax^2+x+1$$ şeklindeki polinomlarda birkaç deneme yaparsak $A=-4$ için polinomun $4$ tane kökü vardır. Dolayısıyla $d$'nin alabileceği en büyük değer $4$'dür.

3

$\Gamma$ çemberi $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarına $X$ noktasında$,$ $AC$ kenarına ise $Y$ noktasında teğettir. $AB$ kenarı üzerindeki bir $P$ noktası için $XP$ ve $YP$ nin $\Gamma$ ile ikinci kesişimleri sırasıyla $K$ ve $L,$ $AK$ ve $BL$ nin $\Gamma$ ile ikinci kesişimleri sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $XR$ ve $YS$ nin $AB$ üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

4

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $D \in [AC]$ ve $E \in [AB]$ olmak üzere $[BD]$ ve $[CE]$ açıortaylardır. $D$ den $BC$ ve $BA$ ya indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $P$ ve $Q,$ $E$ den $CA$ ve $CB$ ye indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $AP$ ile $CQ$ nun kesişimi $X,$ $AS$ ile $BR$ nin kesişimi $Y,$ $BX$ ile $CY$ nin kesişimi $Z$ olmak üzere $AZ \perp BC$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

Eğer $AP \cap CQ \in BD$ olursa $BX$ yükseklik olur. Simetrik şekilde $CY$ de yükseklik olur. Ve bu iki doğru diklik merkezinde kesişeceğinden $AZ \perp BC$ olur. İspat biter. İlk durumu ispatlayalım. Bunu ispatlamak için seva teoreminin tersini kullanalım. ${\frac{|AQ|}{|QB|}}\cdot{\frac{|BP|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1$ ise ispat biter. $\triangle {BQT} \cong \triangle {BPT}$ olduğundan $|BQ| = |BP|$ ve $|QT| = |PT|$ dir. İlk eşitlikten dolayı seva ifademiz olan ${\frac{|AQ|}{|QB|}}\cdot{\frac{|BP|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1,{\frac{|AQ|}{|PC|}}\cdot{\frac{|DC|}{|AD|}} = 1$'e dönüşür. $\triangle {AQT}\sim\triangle {ADB}$ olduğundan $\frac{|AQ|}{|AD|} = \frac{|QT|}{|BD|}$ dir. $\triangle {CPT}\sim\triangle {CDB}$ olduğundan $\frac{|TP|}{|BD|} = \frac{|PC|}{|DC|}$dir. Demin dediğimiz gibi $|QT| = |PT|$ olduğundan $\frac{|AQ|}{|AD|} = \frac{|PC|}{|DC|}$ olur. ispat biter.

5

$a,b,c,d$ pozitif tam sayıları için

$\{ a \cdot b^n +c \cdot d^n\ :\ n=1,2,3,...\}$

kümesinin en az bir elemanını bölen asal sayılar sonlu çoklukta ise $b=d$ olduğunu gösteriniz.

6

$2021$ öğrencinin bulunduğu bir okulda her öğrencinin tam olarak $k$ arkadaşı olup üçü de birbiriyle arkadaş olan üç öğrenci bulunmuyorsa$,$ $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?