Geomania.Org Forumları

Başlangıçta masadaki iki kutudan biri boş olup, diğerinde farklı renkli $29$ bilye bulunmaktadır. Dolu kutuyla başlamak ve kutulara sırayla hamle yapmak üzere her hamlede sırası gelen kutudan bir veya birkaç bilye seçilip diğer kutuya aktarılıyor. Aynı bilye öbeği bir defadan fazla seçilmeden en çok kaç hamle yapılabilir?

Derecesi $d$ olan gerçel katsayılı bir polinomun en az $d$ adet katsayısı $1$'e eşit olup $d$ adet gerçel kökü varsa $d$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

(Not: Polinomun kökleri birbirinden farklı olmak zorunda değildir.)

$\Gamma$ çemberi $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarına $X$ noktasında$,$ $AC$ kenarına ise $Y$ noktasında teğettir. $AB$ kenarı üzerindeki bir $P$ noktası için $XP$ ve $YP$ nin $\Gamma$ ile ikinci kesişimleri sırasıyla $K$ ve $L,$ $AK$ ve $BL$ nin $\Gamma$ ile ikinci kesişimleri sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $XR$ ve $YS$ nin $AB$ üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $D \in [AC]$ ve $E \in [AB]$ olmak üzere $[BD]$ ve $[CE]$ açıortaylardır. $D$ den $BC$ ve $BA$ ya indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $P$ ve $Q,$ $E$ den $CA$ ve $CB$ ye indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $AP$ ile $CQ$ nun kesişimi $X,$ $AS$ ile $BR$ nin kesişimi $Y,$ $BX$ ile $CY$ nin kesişimi $Z$ olmak üzere $AZ \perp BC$ olduğunu gösteriniz.

$a,b,c,d$ pozitif tam sayıları için

$\{ a \cdot b^n +c \cdot d^n\ :\ n=1,2,3,...\}$

kümesinin en az bir elemanını bölen asal sayılar sonlu çoklukta ise $b=d$ olduğunu gösteriniz.

$2021$ öğrencinin bulunduğu bir okulda her öğrencinin tam olarak $k$ arkadaşı olup üçü de birbiriyle arkadaş olan üç öğrenci bulunmuyorsa$,$ $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?