$s(\widehat{BAC})=10^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ ve $[AB]$ kenarları üzerinde sırasıyla $K$ ve $L$ noktaları alınmıştır. $s(\widehat{ABK})=50^{\circ},\ s(\widehat{ACL})=25^{\circ}$ ve $s(\widehat{BCL})=35^{\circ}$ ise $s(\widehat{BKL})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 70^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 65^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 55^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 50^{\circ}$

$\dfrac{n^3-31}{n^2-7}$ ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan $n$ pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 28  \qquad\textbf{e)}\ 36$

Bir masa üzerindeki kutuların her birinde $3$ top bulunmaktadır ve her top ya kırmızı ya da beyaz renktedir. En az iki kırmızı top içeren kutu sayısı $25,$ en az iki beyaz top içeren kutu sayısı $36,$ farklı renkte toplar içeren kutu sayısı $47$ ise içerdiği tüm toplar aynı renk olan kutu sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 20$

Dört kutunun her birinde $1,2,3,4,5$ sayılarıyla numaralanmış beşer top bulunmaktadır. Bu yirmi toptan altı tanesi, her kutudan en az bir top ve
en az bir kutudan hem $1$ hem de $2$ numaralı topları almak koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?

$\textbf{a)}\ 4320  \qquad\textbf{b)}\ 4350  \qquad\textbf{c)}\ 4370  \qquad\textbf{d)}\ 4390  \qquad\textbf{e)}\ 4420$

Bir dışbükey çokgenin iç açılarından üçünün ölçüleri toplamı $390^{\circ}$ olup diğer iç açılarının her birinin derece cinsinden ölçüsü aynı bir tam sayıya eşittir. Buna göre bu çokgenin kenar sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 206  \qquad\textbf{b)}\ 209  \qquad\textbf{c)}\ 212  \qquad\textbf{d)}\ 215  \qquad\textbf{e)}\ 218$

Kaç $n$ pozitif tam sayısı için $2n$ sayısının tam olarak $n$ tane pozitif tam sayı böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

Boyları aynı kalınlıkları farklı olan dik silindir şeklindeki iki mum aynı anda yakılıyor. Bu iki mumun birim zamanda eriyen miktarları aynıdır. Mumlar yakıldıktan $5$ saat sonra mumların boyları oranının $\dfrac{22}{21}$ olduğu ölçülüyor. Bu ölçümden $10$ saat sonra ise mumların boyları oranı $\dfrac{16}{13}$ olduğuna göre başlangıçtan itibaren kaç saat sonra mumların boyları oranı $7$ olur?

$\textbf{a)}\ 45  \qquad\textbf{b)}\ 40  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir küpün altı yüzünün her birinde birbirinden farklı iki basamaklı pozitif tam sayılar yazılmıştır. Ortak kenara sahip herhangi iki yüzdeki sayıların
farkı en az $2$ ise, bu altı sayının toplamı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 77  \qquad\textbf{b)}\ 79  \qquad\textbf{c)}\ 81  \qquad\textbf{d)}\ 83  \qquad\textbf{e)}\ 85$

Dışbükey bir $ABCDE$ beşgeninin köşeleri bir çember üzerinde yer almaktadır. $AC \cap BD = \{F\},\ BE \cap AD = \{K\},\ CE \cap AD = \{L\}$ olmak üzere$,$ $|AB|=|BK|,\ |CD|=|CL|,\ |EK|=|EL|$ ve $s(\widehat{BFC})=60^{\circ}$ ise $s(\widehat{AED})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 125^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 130^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 135^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 140^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılarının en küçük ortak katları ile en büyük ortak bölenlerinin farkı $13$ ise $a+b$ kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

$|x+y|<5$ şartını sağlayan $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $x^2+y$ ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ -5  \qquad\textbf{b)}\ -6  \qquad\textbf{c)}\ -7  \qquad\textbf{d)}\ -8  \qquad\textbf{e)}\ -9$

$1,2,...,303$ sayıları bir çember etrafına dizilmiştir. Yan yana olup toplamları $7$ ile tam bölünen sayı ikililerinin sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 291  \qquad\textbf{b)}\ 293  \qquad\textbf{c)}\ 295  \qquad\textbf{d)}\ 297  \qquad\textbf{e)}\ 299$

Bir $ABC$ üçgeninde $I$ noktası iç açıortayların kesişim noktasıdır. $I$ noktasından geçip $AB$ doğrusuna paralel olan doğru $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, $I$ noktasından geçip $AC$ doğrusuna paralel olan doğru ise $[BC]$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir. $|ID|=|IE|=12$ ve $|DE|=16$ ise $ABC$ üçgeninin çevresi nedir?

$\textbf{a)}\ 60  \qquad\textbf{b)}\ 70  \qquad\textbf{c)}\ 80  \qquad\textbf{d)}\ 90  \qquad\textbf{e)}\ 100$

$2^n-1$ sayısının $385$ ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 9$

$30$ birim uzunluğundaki $[A,B]$ aralığının $A$ noktasından $B$ noktasına doğru sabit hızla giden bir $X$ böceği ile $B$ noktasından $A$ noktasına doğru sabit hızla giden bir $Y$ böceği aynı anda harekete başlıyor. Bir $t$ gerçel sayısı için $X$ ve $Y$ böcekleri arasındaki mesafe iki kere $t$ birim oluyor. Mesafenin ilk kez $t$ birim olduğu anda $X$ böceği $B$ noktasından $15$ birim uzaklıkta, ikinci kez $t$ birim olduğu anda ise $Y$ böceği $B$ noktasından $10$ birim uzaklıkta olduğuna göre, $t$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{15}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir masa üzerinde birinde $m$ diğerinde $n$ bilye bulunan iki öbek bulunmaktadır. Aslı ve Zehra sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor ve sırası gelen oyuncu masa üzerinde en az iki bilye içeren bir öbeği hiçbiri boş olmayan iki öbeğe ayırıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $(m,n)=(10,11),\ (10,13),\ (11,12),\ (11,21)$ ve $(27,30)$ ikilileri için birer kez oynanırsa$,$ Aslı bu oyunların kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$AD \parallel BC$ ve $|AD|>|BC|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $B$ noktasından geçen ve $CD$ doğrusuna paralel olan doğru $AD$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $\widehat{CBE}$ ile $\widehat{DAC}$ açılarının iç açıortayları $[CE]$ yi sırasıyla $F$ ve $G$ noktalarında kesiyor. $AC$ ile $BE$ doğrularının kesişimi $H$ olmak üzere $|CH|=2$ ve $|CF|=|GE|$ ise $|EH|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2$

$m^4-25^n=6560$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$c$ bir gerçel sayı olmak üzere, $$x+3y+9z=1$$ $$x+4y+16z=1$$ $$x+5y+cz=1$$ denklem sistemini sağlayan sonsuz çoklukta $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlüsü varsa, $c$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 19  \qquad\textbf{b)}\ 21  \qquad\textbf{c)}\ 23  \qquad\textbf{d)}\ 25  \qquad\textbf{e)}\ 27$

$91$ özdeş top bir sıraya dizilmiş $13$ farklı kutuya$,$ kutuların birinde $1,$ birinde $2,$ birinde $3,...,$ birinde $13$ top olacak biçimde dağıtılacaktır. Bu dağılım$,$ herhangi üç ardışık kutudaki top sayılarının toplamı $3$ ile tam bölünecek şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 136200  \qquad\textbf{b)}\ 136680  \qquad\textbf{c)}\ 137560  \qquad\textbf{d)}\ 138240  \qquad\textbf{e)}\ 139200$

Bir $\Gamma$ çemberi üzerinde alınan $A$ ve $B$ noktalarından çembere çizilen teğetlerin kesişim noktası $C$ dir. $AB$ doğrusuna $B$ noktasında dik olan doğru $AC$ doğrusunu $D$ noktasında$,$ $AB$ doğrusuna $A$ noktasında dik olan doğru $\Gamma$ çemberini ikinci kez $E$ noktasında kesiyor. $|AE|=1$ ve $|BD|=2$ ise $|EC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{\sqrt2}  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{\sqrt2}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

İki basamaklı kaç $n$ pozitif tam sayısı için $7x^2+2y^2=3^n$ eşitliğini sağlayan $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi bulunur?

$\textbf{a)}\ 90  \qquad\textbf{b)}\ 75  \qquad\textbf{c)}\ 72  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 45$

$(x+2)(y+3)=24$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları için $xy$ çarpımının alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

Başlangıçta $6$ öğrencide farklı sayılarda kalemler bulunmaktadır. Bu öğrencilerden her biri, kendi kalemlerinin tamamını diğer beş öğrencinin tamamı veya bir kısmı arasında paylaştırarak bu beş öğrencide eşit sayıda kalem bulunmasını sağlayabiliyor. Buna göre, bu $6$ öğrencinin toplam kalem sayısı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 75  \qquad\textbf{b)}\ 80  \qquad\textbf{c)}\ 85  \qquad\textbf{d)}\ 90  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Köşegenleri $E$ noktasında dik kesişen bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $B$ noktasından $AD$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $F$ olsun. $|BE|=4,\ |ED|=21$ ve $|FD|=15$ ise $|CD|$ nedir?

 $\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 14\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 15\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 12\sqrt5  \qquad\textbf{e)}\ 35$

Ondalık yazılımı en az iki tane $5$ ve toplam iki farklı rakam içeren dört basamaklı tam olarak bir tane asal sayı vardır. Bu asal sayının $41$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 26  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 22  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 16$

Her biri $1,2,3$ ten birine eşit olan $10$ tane sayı verilmiştir. Bu sayıların en az yarısı $3$ ise bu sayıların küpleri toplamının bu sayıların toplamına oranı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 7$

Bir düzgün $132$-genin $30$ köşesi kırmızı$,$ kalan $102$ köşesi ise mavi renge boyanmıştır. Her ikisi mavi olan komşu köşe ikilisi sayısı$,$ her ikisi kırmızı olan komşu köşe ikilisi sayısının $4$ katı ise farklı renkli komşu köşe ikilisi sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 22$

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenleri dik kesişmektedir. $K$ ve $L$ noktaları$,$ sırasıyla $[AB]$ ve $[CD]$ kenarları üzerinde $|AK|=2|KB|$ ve $|CL|=2|LD|$ olacak şekilde alınıyor. $|AC|=48$ ve $|BD|=45$ ise $|KL|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 34  \qquad\textbf{b)}\ 36  \qquad\textbf{c)}\ 42  \qquad\textbf{d)}\ 50  \qquad\textbf{e)}\ 54$

$7^{2n+1}-4 \cdot 7^n+9$ ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

$x^3+y^3=x^2+y^2=1$ koşullarını sağlayan kaç $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2$

Başlangıçta $1$'den $30$'a kadar numaralandırılmış otuz kutunun her birinde numarası kadar top bulunmaktadır. Her işlemde bir veya birkaç kutudan eşit sayıda top çıkarılıyor. En az kaç işlem sonucunda tüm kutuların boş olması sağlanabilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$