$n\ge 2$ ve $E=\lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace $ olsun. $
A_{1},A_{2},\ldots ,A_{k}$; $E$ nin altkümeleri olmak üzere, her $1\le i<j\le k$ için, $A_{i}\cap A_{j}$, $A_{i}'\cap A_{j}$, $A_{i}\cap A_{j}'$ ve $A_{i}'\cap A_{j}'$ kümelerinden tam olarak bir tanesi boş ise, $k$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

[$A$, $E$ nin bir altkümesi ise, $E$ nin $A$ ya ait olmayan elemanlarının kümesini $A'$ ile gösteriyoruz.]

$D$, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde köşelerden farklı bir nokta ve $E$, $[CD]$ nin orta noktası olsun. $E$ den $BC$ doğrusuna çizilen dikme $[AC]$ kenarını $\vert AF\vert \cdot \vert BC\vert =\vert AC\vert \cdot |EC|$ koşulunu sağlayan bir $F$ noktasında kesiyor. $ADC$ üçgeninin çevrel çemberi de, $[AB]$ kenarını $A$ dan farklı bir $G$ noktasında kesiyor. $AGF$ üçgeninin çevrel çemberine $F$ noktasından çizilen teğetin $BGE$ üçgeninin çevrel çemberine de teğet olduğunu kanıtlayınız.

$xyz=1$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için, $$\dfrac{1}{x+y^{20}+z^{11}}+\dfrac{1}{y+z^{20}+x^{11}}+\dfrac{1}{z+x^{20}+y^{11}}\le 1$$ olduğunu gösteriniz.

$a_{1}=5$ ve $n\ge 1$ için, $a_{n+1}=a_{n}^{3}-2a_{n}^{2}+2$ olsun. $p\equiv 3 \pmod 4$ koşulunu sağlayan bir $p$ asal sayısı $a_{2011}+1$ sayısını bölüyorsa, $p=3$ olduğunu kanıtlayınız.

$M$ ve $N$ düzlemde yer alan düzgün dışbükey çokgensel bölgeler olmak üzere, uç noktalardan biri $M$ ye, diğeri de $N$ ye ait olan doğru parçalarının orta noktalarından oluşan kümeyi $K(M,N)$ ile gösterelim. $K(M,N)$ nin de düzgün dışbükey çokgensel bir bölge olmasını sağlayan tüm $(M,N)$ ikililerini belirleyiniz.

$A$ ülkesindeki $2011$ kent ile $B$ ülkesindeki $2011$ kent arasında karşılıklı uçak seferleri yapılıyor. İki kent arasındaki seferleri yalnızca bir hava yolu şirketi işletebiliyor ve bir kentten çıkan seferleri en çok $19$ farklı hava yolu şirketi işletebiliyor. Uçuşlar hava yolu şirketleri arasında bu koşulları sağlayacak biçimde nasıl paylaşılmış olursa olsun, yalnızca bir tek hava yolu şirketinin uçuşlarını kullanarak herhangi ikisi arasında gidebileceğimiz $k$ kent bulunuyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.