Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2000

$369$ sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı şekilde yazılabilir?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 7$

$a,b,c \in \mathbf Z$ olmak üzere; $ax^2 + bx + c$ denkleminin diskrimantının $47$ olmasını sağlayan kaç $(a,b,c)$ üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 47 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$

$m$ ve $n$ sayıları $2520$ sayısının pozitif bölenleri olmak üzere, $(m,n)$ ikililerini düşününüz. Bu ikililerden kaç tanesi için $n$ sayısı $m$'yi tam böler?

$\textbf{a)}\ 270 \qquad\textbf{b)}\ 540 \qquad\textbf{c)}\ 250 \qquad\textbf{d)}\ 455 \qquad\textbf{e)}\ 500$

$ABC$ bir dik üçgen, $m(A) = 90^\circ$, $[BC]$'nin orta noktası $D$; $[AC]$'nin bir noktası $E$ olmak üzere, $|AB|=|AE|$ ve $|AC|=3|AB|$ ise, $m(\widehat {AED})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 105^\circ \qquad\textbf{b)}\ 120^\circ \qquad\textbf{c)}\ 135^\circ \qquad\textbf{d)}\ 140^\circ \qquad\textbf{e)}\ 150^\circ$

$30$ farklı kitap, her bir bölmesi $30$ kitap alabilen $7$ bölmeli bir rafa kaç değişik biçimde dizilebilir? (Bazı bölmeler boş kalabilir.)

$\textbf{a)}\ \dbinom {30}{7} \qquad\textbf{b)}\ 23! \qquad\textbf{c)}\ \dfrac {36!}{6!} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac {37!}{7!} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac {30!}{7!}$

Tüm pozitif tamsayılardan oluşan küme $\mathbf N$ ile gösterilmek üzere, $f: \mathbf N \to \mathbf N$ fonksiyonu

$m$ ve $n$ aralarında asal olunca, $f(mn)=f(m)f(n)$;
$p$ ve $q$ asal olunca, $f(p+q)=f(p)+f(q)$

özelliklerine sahipse, $f(100)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 29 \qquad\textbf{b)}\ 50 \qquad\textbf{c)}\ 70 \qquad\textbf{d)}\ 125 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarının orta noktası $D$ ile; $D$, $B$ ve $C$ noktalarından geçen çemberin $[AC]$ kenarı ile (ikinci defa) kesişim noktası $E$ ile gösterilmek üzere, $|AC|=3|AE|$ ve $m(\widehat {EBC}) = 90^\circ$ ise, $|EB|^2 / |BC|^2$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac 73 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac 53 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac 35 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac 37 \qquad\textbf{e)}\ 2$

$\left \{ \begin{array}
yy^2-(x+1)(x^2+4)=0\\
y^2-(4-2x)y+(4-4x-3x^2)=0
\end{array}
\right .$

denklem sisteminin çözüm kümesinde kaç $(x,y)$ reel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{3 ten fazla}$

$a_1=1$ ve her $n \geq 1$ için $a_{n+1}=\dfrac1n (1+2a_1+3a_2+...+(n+1)a_n)$ ile tanımlanan dizinin $2000$'inci terimi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3 \cdot 2^{1998} \qquad\textbf{b)}\ 3 \cdot 2^{1999} \qquad\textbf{c)}\ 3 \cdot 2^{1997} \qquad\textbf{d)}\ 3 \cdot 2^{2000} \qquad\textbf{e)}\ 3 \cdot 2^{2001}$

$\sqrt x + \sqrt y = \sqrt{2000}$ denkleminin tamsayılar kümesinde kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 21 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 40$

Yarıçapı $r$ olan çember, yarıçapı $R$ olan çembere $A$ noktasında içten teğettir. Dıştaki çemberin herhangi bir $B$ noktasından içteki çembere çizilen teğetin değme noktası $C$ ve $2|BC|=|BA|$ ise, $\dfrac{r}{R}$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac34 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac45 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac58 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{7}{10} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11}{20}$

$8$ şeker kutusunun her birinde farklı sayıda şeker bulunmaktadır. Bu kutulardan rasgele biri boşaltılıp diğer kutulara uygun biçimde dağıtılınca, diğer $7$ kutunun her birindeki şeker sayısı aynı oluyor. Başlangıçta en çok şeker bulunan kutuda en az kaç şeker olabilir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 21 \qquad\textbf{c)}\ 28 \qquad\textbf{d)}\ 35 \qquad\textbf{e)}\ 42$

Aşağıdaki denklemin kaç reel çözümü vardır?

$x=1-2(1-2x^2)^2$

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$

Her $x \in [-1,1]$ için $|2x^2+ax+b| \leq 1$ eşitsizliğinin sağlanmasını garanti eden reel $a$ ve $b$ sayıları için $a^2+b^2$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac52$

$ABCDEF$ düzgün altıgeni veriliyor. $ABCD$ dörtgeninin iç bölgesinde alınan bir $K$ noktası için $m(\widehat{KAD})=18^{\circ}$ ve $m(\widehat{KAB})=m(\widehat{KCD})$ ise, $m(\widehat{KBA})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 84 \qquad\textbf{b)}\ 81 \qquad\textbf{c)}\ 94 \qquad\textbf{d)}\ 96 \qquad\textbf{e)}\ 72$

$a_3=3$ ve her $n \geq 1$ için $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$ bağıntısı ile tanımlanmış bir $a_1,a_2,...,a_n,...$ dizisinin ilk $100$ teriminin toplamı $100$ ise, ilk $111$ teriminin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 111 \qquad\textbf{c)}\ 136 \qquad\textbf{d)}\ 194 \qquad\textbf{e)}\ 222$

$[AB]$ çaplı yarım çemberin $AB$ yayının orta noktası $C;$ $BC$ yayı üzerinde $B$ ve $C$ den farklı bir nokta $P;$ $CP$ ile $AP$ doğrusunun kesim noktası $Q;$ $Q$' dan geçen ve $AB$ doğrusuna dik olan doğru ile $AP$ doğrusunun kesişim noktası $D$ olmak üzere$,$ $|AB|=6$ ve $|DQ|=10$ ise$,$ $|QP| \cdot |QC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 160 \qquad\textbf{b)}\ 169 \qquad\textbf{c)}\ 150 \qquad\textbf{d)}\ 140 \qquad\textbf{e)}\ 144$

Aşağıdaki şekilde işaretlenmiş noktaların en az dördünden geçen kaç çember vardır?

$\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{En az }4
$

Her $n$ pozitif tamsayısı için $n$'nin en büyük asal çarpanını $A(n)$ ile gösterelim. $a_1=68$ ve her $n \geq 1$ için $a_{n+1}=a_n+A(a_n)$ ile tanımlanan $(a_n)$ dizisinin 19-uncu terimi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 340 \qquad\textbf{b)}\ 371 \qquad\textbf{c)}\ 361 \qquad\textbf{d)}\ 350 \qquad\textbf{e)}\ 380$

$a_n=\dfrac{n^2}{(1,001)^n}$ $,$ $(n=1,2,3,...)$ dizisinin en büyük terimi kaçıncı terimdir?

$\textbf{a)}\ 1001 \qquad\textbf{b)}\ 1999 \qquad\textbf{c)}\ 2000 \qquad\textbf{d)}\ 2001 \qquad\textbf{e)}\ 2002$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2000 - Lise 2-3