$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $$\frac{20 \cdot 5^n-2}{3^n+47}$$ ifadesinin tam sayı olmadığını gösteriniz.

Bir okuldaki öğrencilerin herhangi üçü için bu üç öğrenci ile de arkadaş olan en az bir öğrenci bulunmaktadır. Arkadaş olan herhangi iki öğrencinin herhangi iki ortak arkadaşı da arkadaştır. Bu okuldaki öğrencileri boş olmayan iki gruba, farklı gruplarda yer alan herhangi iki öğrenci arkadaş olacak şekilde ayırmak mümkün değildir. Buna göre, bu okulda arkadaş olmayan iki öğrencinin hep aynı sayıda ortak arkadaşa sahip olduğunu gösteriniz.

(Not: Bir öğrenci kendisi ile arkadaş sayılmaktadır.)

 Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde, $BC$ doğrusuna göre $A$ ile farklı tarafta yer alan bir $D$ noktası verilmiştir. $ABC$ ve $ADC$ üçgenlerinin iç bölgelerinin kesişiminde bulunan bir $E$ noktası $m(\widehat{ABE})= m(\widehat{BCE})$ olacak şekilde alınıyor. $ADE$ üçgeninin çevrel çemberinin $AB$ doğrusu ile ikinci kesişim noktası $K$ olsun. $EK$ ve $BC$ doğrularının kesişimi $L$ noktası, $EC$ ve $AD$ doğrularının kesişimi $M$ noktası, $BM$ ve $DL$ doğrularının kesişimi ise $N$ noktası olsun. $$m(\widehat{NEL})=m(\widehat{NDE})$$ olduğunu gösteriniz.

$28$ tür balığın satıldığı bir balık pazarında $28$ balık satıcısı vardır. Her satıcıda her balık türünün sadece Akdeniz’den geleni ya da Karadeniz’den geleni bulunmaktadır. $k$ kişiden her biri, her türden bir balık olmak üzere her satıcıdan bir balık almıştır. Herhangi iki kişi en az bir balık türü için o türün farklı denizlerden gelen balıklarını aldıysa, $k$ en fazla kaç olabilir?

Çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile $[BC]$ nin orta dikmesinin kesişim noktaları $M$ ve $N$ olmak üzere, $[AM]$ ve $[AN]$ nin orta noktaları $K$ ve $L$ olsun. $ABK$ ve $ABL$  üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $AC$ doğrusu ile ikinci kesişim noktaları sırasıyla $D$ ve $E$, $ACK$ ve $ACL$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $AB$ doğrusu ile ikinci kesişim noktaları sırasıyla $F$ ve $G$ olsun. $DF$, $EG$ ve $MN$ doğrularının noktadaş olduğunu ispatlayınız.

Hangi $n$ pozitif tam sayıları için, $$\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{(x_1+2x_2+\cdots +nx_n)^2}= \frac{27}{4n(n+1)(2n+1)}$$ ve her $ i =1,2,\cdots , n$ için $i \leq x_i \leq 2i$ koşullarını sağlayan $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ gerçel sayıları vardır?

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\omega$ ve iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun. $A$ ya ait dış açıortayın $\omega$ yı ikinci kez kestiği noktadan ve $I$ noktasından geçen doğrununun $IBC$ nin çevrel çemberini ikinci kez kestiği nokta $T_A$ olsun. $T_B$ ve $T_C$ noktaları da benzer şekilde tanımlanıyor. $T_AT_BT_C$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapının $\omega$ nın yarıçapının iki katı olduğunu gösteriniz.

$c$ bir gerçel sayı olmak üzere, tüm $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $$f(x-f(y))=f(x-y)+c(f(x)-f(y))$$ eşitliğini sağlayan ve sabit olmayan bir $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu bulunuyorsa,
(a) $c$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.
(b) $f$ fonksiyonu periyodik olabilir mi?

Hangi $(k,n)$ pozitif tam sayı ikilileri için $$\Bigg |\Bigg\{{a \in \mathbb{Z}: 1\leq a\leq(nk)!,\ obeb \left(\binom{a}{k},n\right)=1}\Bigg\}\Bigg |=\frac{(nk)!}{6}$$ eşitliği sağlanır?