$n \geqslant 100$ bir tam sayı olsun. Aslı $n, n+1, \ldots, 2 n$ sayılarının her birini farklı bir karta yazıyor. Daha sonra bu $n+1$ kartı karıştırarak iki gruba ayırıyor. Bu gruplardan en az birinde, üzerindeki sayıların toplamı tam kare olan iki kartın bulunduğunu gösteriniz.

Tüm $x_{1}, \ldots, x_{n}$ gerçel sayıları için
$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{\left|x_{i}-x_{j}\right|} \leqslant \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{\left|x_{i}+x_{j}\right|}$$
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

$|A B|>|A C|$ olan dar açılı bir $A B C$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle D A B=\angle C A D$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $[A C]$ kenarı üzerinde $\angle A D E=\angle B C D$ olacak şekilde bir $E$ noktası, $[A B]$ kenarı üzerinde $\angle F D A=\angle D B C$ olacak şekilde bir $F$ noktası ve $A C$ doğrusu üzerinde $|C X|=|B X|$ olacak şekilde bir $X$ noktası alınıyor. $A D C$ ve $E X D$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri sırasıyla $O_{1}$ ve $O_{2}$ olsun. $B C$, $E F$ ve $O_{1} O_{2}$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

$\Gamma$ çemberinin merkezi $I$ olsun. $A B C D$ dişbükey dörtgeninin $[A B],[B C],[C D]$ ve $[D A]$ kenarlarının her biri $\Gamma$ çemberine teğettir. $A I C$ üçgeninin çevrel çemberi $\Omega$ olsun. $[B A]$ nin $A$ yönünde uzantısı $\Omega$ ile $X$ noktasında, $[B C]$ nin $C$ yönünde uzantısı $\Omega$ ile $Z$ noktasında kesişiyor. $[A D]$ ve $[C D]$ nin $D$ yönünde uzantıları $\Omega$ ile sırasıyla $Y$ ve $T$ noktalarında kesişiyor.
$$|A D|+|D T|+|T X|+|X A|=|C D|+|D Y|+|Y Z|+|Z C|$$
olduğunu gösteriniz.

Tüylü ve Zıplak isimli iki sincap kış için $2021$ tane ceviz toplamıştır. Zıplak, cevizleri $1$ den $2021$ e kadar olan sayılarla numaralandırıyor ve en sevdikleri ağacın etrafında çembersel bir düzende $2021$ tane küçük delik açıyor. Ertesi sabah Zıplak, Tüylü’nün her deliğe bir ceviz yerleştirdiğini, fakat yerleştirirken cevizlerin numaralarına hiç dikkat etmediğini fark ediyor. Bundan mutsuz olan Zıplak, $2021$ hamleden oluşan bir hamleler dizisi uygulayarak cevizlerin yerlerini değiştirmeye karar veriyor. $k$ ıncı hamlede Zıplak, $k$ numaralı cevizin iki komşusunun yerlerini birbirleriyle değiştiriyor. Öyle bir $k$ sayısının var olduğunu gösteriniz ki; Zıplak, $k$ ıncı hamlede $a < k < b$ koşuluna uyan $a$ ve $b$ numaralı cevizlerin yerlerini değiştirmiş olsun.

$m \geqslant 2$ bir tam sayı, $A$ (pozitif olmak zorunda olmayan) tam sayılardan oluşan bir sonlu küme ve $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$, $\ldots$, $B_{m}$ kümeleri $A$ nın alt kümeleri olsun. Her $k=1,2, \ldots, m$ için $B_{k}$ kümesinin elemanlarının toplamı $m^{k}$ dır. A kümesinin en az $m / 2$ eleman içerdiğini gösteriniz.