Geomania.Org Forumları

Her $n$ pozitif tam sayısı için $P(n!) = \left |P(n)\right |!$ koşulunu sağlayan tüm tam sayı katsayılı $P(x)$ polinomlarını bulunuz.

$ABC$, $|AB|=|AC|$ koşulunu sağlayan bir ikizkenar üçgen ve $D$, $A$ ya ait yüksekliğin ayağı olmak üzere, $ADC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktası $m(\widehat{APB}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{PBD}) + m(\widehat{PAD}) = m(\widehat{PCB})$ koşullarını sağlıyor.
$CP\cap AD=\{Q\}$ ve $BP\cap AD=\{R\}$ olsun. $[AB]$ üstünde yer alan bir $T$ noktası ile $[AP$ üstünde ve $[AP]$ dışında yer alan bir $S$ noktası, $m(\widehat{TRB}) = m(\widehat{DQC})$ ve $m(\widehat{PSR}) = 2m(\widehat{PAR})$ koşullarını sağlıyorsa, $|TR|=|RS|$ olduğunu gösteriniz.

Tüm $x,y$ gerçel sayıları için,

• $f\left (f(x^2) + y + f(y) \right) = x^2+2f(y)$ ve
• $x\leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$

koşullarını sağlayan bütün $f: \mathbf R\rightarrow \mathbf R $ fonksiyonlarını belirleyiniz.

Tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için,
$$ \dfrac{x(2x-y)}{y(2z+x)}+\dfrac{y(2y-z)}{z(2x+y)}+\dfrac{z(2z-x)}{x(2y+z)}\geq 1 $$
olduğunu kanıtlayınız.

$x_i \in {1,2,\dots,20},(1\leq i\leq 2012)$, biçimindeki tüm $(x_1,x_2,\dots,x_{2012})$ $2012$-lilerinden oluşan kümeyi $P$ ile gösterelim.
Bir $S \subset P$ altkümesi, her $(x_1,x_2,\dots,x_{2012}) \in S$ için, $$y_i \leq x_i (1\leq i\leq 2012) \Rightarrow (y_1,y_2,\dots,y_{2012}) \in S$$
koşulunu sağlıyorsa, $S$ ye alçalan küme $$x_i \leq y_i (1\leq i\leq 2012) \Rightarrow (y_1,y_2,\dots,y_{2012}) \in S$$
koşulunu sağlıyorsa da, $S$ ye yükselen küme diyelim.
$A$ ve $B$ boş olmayan sırasıyla bir alçalan ve bir yükselen küme olmak üzere, $|A \cap B|/\left (|A|\cdot|B| \right )$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

Sırasıyla, $[AE]$ ve $[AF]$ doğru parçaları üstünde yer alan $B$ ve $D$ noktaları için, $ABF$ ve $ADE$ üçgenlerinin $A$ köşelerine ait dış teğet çemberleri aynıdır. Bu çemberin merkezi $I$, $[BF]\cap [DE]=\{C\}$ ve $IAB$, $IBC$, $ICD$, $IDA$, $IAE$, $IEC$, $ICF$, $IFA$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri sırasıyla, $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$ olsun.

• $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ noktalarının ve $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.
• Bu çemberlerin merkezleri sırasıyla, $O_1$ ve $O_2$ olmak üzere, $O_1$, $O_2$, $I$ noktalarının doğrudaş olduğunu gösteriniz.