$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinden alınan $D$ ve $E$ noktaları için $|BD|=|DE|=|EC|$ eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre,

$
\begin{array}{rcll}
\text{I.} & & s(\widehat{ADB})=s(\widehat{AEC}) \\
\text{II.} & & s(\widehat{BAC})=3 \cdot s(\widehat{DAE}) \\
\text{III.} & & |AD|=|CD| \\
\text{IV.} & & |AB|=|DE|
\end{array}$

ifadelerinden hangileri doğru olabilir?

$\text{a)}\ \text{I ve IV} \quad \quad \qquad \text{b)}\ \text{I ve III}  \quad \quad \qquad\text{c)}\ \text{II ve IV}  \quad \quad \qquad\text{d)}\ \text{I ve II}  \quad \quad \qquad\text{e)}\ \text{I, III ve IV} $

$n$, $10^{10}$ ve $16^{10}$ sayılarının en küçük ortak katı $20^{20}$ olacak şekilde kaç farklı $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\text{a)}\ 33 \quad \quad \qquad \text{b)}\ 35  \quad \quad \qquad\text{c)}\ 37  \quad \quad \qquad\text{d)}\ 39  \quad \quad \qquad\text{e)}\ 41 $

$a$ ve $b$ gerçel sayıar olmak üzere, $2a+b+1=0$ ise $a^2 + b^2$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$\text{a)}\ \dfrac{2}{9} \quad \quad \qquad \text{b)}\ \dfrac{1}{6}  \quad \quad \qquad\text{c)}\ \dfrac{1}{4}  \quad \quad \qquad\text{d)}\ \dfrac{1}{2}  \quad \quad \qquad\text{e)}\ \dfrac{1}{5} $

$9$ farklı top $5$ farklı kutuya, en az $3$ kutu boş kalacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

$\text{a)}\ 5105 \quad \quad \qquad \text{b)}\ 5110  \quad \quad \qquad\text{c)}\ 5115  \quad \quad \qquad\text{d)}\ 5120  \quad \quad \qquad\text{e)}\ 5125 $

$s(\widehat{BAC}) = 110^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $s(\widehat{ADE}) = 30^\circ$, $s(\widehat{BCD}) = 10^\circ$ ve $|DE| = |EC|$ ise, $s(\widehat{BEC})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 120^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 125^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 130^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 135^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 140^\circ
$

$m$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n^2 + 5n + 7$ ve $2n^2 + 3n + 5$ sayılarının ikisi de $m$ ile tam bölünecek şekilde bir $n$ pozitif tam sayısı varsa $m$ ye güzel sayı diyelim. Tüm güzel sayıların toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 110
\qquad\textbf{b)}\ 120
\qquad\textbf{c)}\ 130
\qquad\textbf{d)}\ 140
\qquad\textbf{e)}\ 150
$

$a$, $b$ ve $c$ farklı gerçel sayılar olmak üzere, $x^2 + (a+b)x + b+c = 0$ ve $x^2 + (a+c)x + 2c = 0$ denklemlerinin ortak bir kökü bulunmaktadır. Buna göre $a-c$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -2
\qquad\textbf{b)}\ -1
\qquad\textbf{c)}\ 0
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

Bir tahtada bir $A$ pozitif tam sayısı yazılıdır. Herhangi bir dört basamaklı $B$ pozitif tam sayısı için, $A$ sayısının bazı basamaklarını silerek $B$ sayısını elde etmek mümkündür. Buna göre, $A$ sayısının basamak sayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 37
\qquad\textbf{b)}\ 39
\qquad\textbf{c)}\ 41
\qquad\textbf{d)}\ 43
\qquad\textbf{e)}\ 45
$

$s(\widehat{BAC})=90^\circ $ olan bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=1$ ve $|AC|=2$ dir. $[BC]$ üzerinden alınan bir $D$ noktası ve $[CD]$ üzerinde alınan $E$ noktası için, $|AD|=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ ve $s(\widehat{DAE}) = s(\widehat{ACE}) $ eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre $|AE|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

Bir tahtaya ilk $123$ pozitif tam sayı birer kez yazılmıştır. Bu tahtada kalan sayıların çarpımının ondalık yazılımı $4$ ile bitecek şekilde tahtadaki sayılardan $n$ tanesini silmek mümkün ise, $n$ en ez kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 23
\qquad\textbf{b)}\ 24
\qquad\textbf{c)}\ 25
\qquad\textbf{d)}\ 26
\qquad\textbf{e)}\ 27
$

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere,

$$\begin{array}[ll] \\
 x & = & y^2 - y - 2 \\
 y & = & -x^2 - x + 2
\end{array}
$$

ise, $x+y$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir kutuda $100$ kırmızı ve $100$ beyaz şeker bulunmaktadır. Aslı her hamlesinde kutudan rastgele iki şeker alıyor. Aslı, bu iki şeker aynı renkte ise ikisini de yiyor, farklı renkte ise kırmızı şekeri yiyor ve beyaz şekeri kutuya geri koyuyor. İlk $k$ hamlede alınan şekerler nasıl olursa olsun Aslı en az $29$ kırmızı şeker yiyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 77
\qquad\textbf{b)}\ 78
\qquad\textbf{c)}\ 79
\qquad\textbf{d)}\ 80
\qquad\textbf{e)}\ 81
$

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde alınan $D$ ve $E$ noktaları için $E$ noktası $C$ ile $D$ arasındadır. $AD$ ve $AE$ doğrularının $ABC$ üçgeninin çevrel çemberiyle $A$ dan başka kesişim noktaları sırasıyla $K$ ve $L$ olsun. $|BD|=2$, $|DK|=3$, $|DE|=4$, $|EC|=|EA|$ ve $|EL|=|DA|$ ise, $|AL|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

$3^n + n$ sayısının $13$ ile tam bölünmesini sağlayan $2021$'den küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 52
\qquad\textbf{b)}\ 104
\qquad\textbf{c)}\ 117
\qquad\textbf{d)}\ 130
\qquad\textbf{e)}\ 156
$

Bir miktar şeker Ali, Berk ve Cem arasında paylaştırıldıktan sonra Berk'in şeker sayısı Ali'ninkinin $4$ katı, Cem'in şeker sayısı ise Berk'inkinin $3$ katıdır. Sonra Cem, $54$ şekerini Ali ve Berk arasında paylaştırıyor. Son durumda Berk'in şeker sayısı Ali'ninkinin $3$ katı, Cem'in şeker sayısı ise Berk'inkinin $2$ katı olmuştur. Buna göre bu üç kişideki toplam şeker sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 510
\qquad\textbf{b)}\ 595
\qquad\textbf{c)}\ 680
\qquad\textbf{d)}\ 765
\qquad\textbf{e)}\ 850
$

Her tam sayıyı kırmızı ve beyaz renklerinden birine, ne farkları $1$ olan iki kırmızı sayı ne de farkları $k$ olan iki beyaz sayı bulunacak şekilde boyamak mümkünse, $k$ sayısı $10$, $12$, $26$, $33$ ve $42$ değerlerinden kaçını alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Bir $ABCD$ karesinin $B$ köşesinden geçen bir çember, $[AB]$ kenarını $K$, $[BC]$ kenarını $L$, $[AC]$ köşesini $P$ ve $M$ noktalarında ($M$ noktası $P$ ile $C$ arasında), $[BD]$ köşegenini $B$'den başka bir $N$ noktasında kesmektedir. $s(\widehat{KLP})=30^\circ$ ve $s(\widehat{KLB})=35^\circ$ ise, $s(\widehat{PNM})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 130^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 135^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 140^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 145^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 150^\circ
$

$3$ ile bölündüğünde $2$, $5$ ile bölündüğünde $3$, $7$ ile bölündüğünde $5$, $11$ ile bölündüğünde $7$, $13$ ile bölündüğünden $11$ kalanını veren en küçük pozitif tam sayının $17$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 13
$

Sadece $A$ ve $B$ sınıflarından oluşan bir kurstaki erkeklerin $\%40$'ı $A$ sınıfında, kızların ise $\%40$'ı $B$ sınıfında yer almaktadır. $A$ sınıfındaki bir erkek ile $B$ sınıfındaki bir kız karşılıklı sınıflarını değiştiriyor. Son durumda $A$ sınıfındaki erkekler ile $B$ sınıfındaki kızların toplam sayısı, $A$ sınıfındaki kızlar ile $B$ sınıfındaki erkeklerin toplam sayısının $\%60$'ıdır. Buna göre bu kursta toplam kaç kişi bulunmaktadır?

$
\textbf{a)}\ 40
\qquad\textbf{b)}\ 80
\qquad\textbf{c)}\ 120
\qquad\textbf{d)}\ 160
\qquad\textbf{e)}\ 180
$

Her birinin kafasında kırmızı veya beyaz kavuk olan $n$ cüce bir sıraya dizilmiştir. Herhangi ardışk $60$ cücenin yarısının kavuğu kırmızı iken, yarısının kavuğunun kırmızı olduğu ardışık $62$ cüce bulunmamaktadır. Buna göre $n$ en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 78
\qquad\textbf{b)}\ 82
\qquad\textbf{c)}\ 90
\qquad\textbf{d)}\ 99
\qquad\textbf{e)}\ 118
$

$AB\parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $[AB]$ kenarı üzerinde alınan bir $F$ noktası için, $AFD$, $FDC$ ve $FCB$ üçgenlerinin çevreleri birbirine eşittir. $|AB|=12$ ise, $|CD|$ uzunluğunun alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 12
$

$\{3,12,14,37,39,41,82\}$kümesinin boş olmayan alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı $9$ ile tam bölünür?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ 18
$

$x$, $y$ ve $z$ birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, $$x^2+y^2=2x+3y$$ $$y^2+z^2=3y+2z$$ $$z^2+x^2=3z+2x$$ ise, $x+2y+3z$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

$1, 2,\dots,9$ sayıları $3\times 3$ bir tablonun birim karelerine her bir birim karede bir sayı bulunacak şekilde yerleştirilecektir. Bu işlem, hem herhangi bir satırdaki sayıların toplamı hem de herhangi bir sütundaki sayıların toplamı $3$ ile tam bölünecek şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

$
\textbf{a)}\ 3\cdot 6^3
\qquad\textbf{b)}\ 5\cdot 6^3
\qquad\textbf{c)}\ 6^4
\qquad\textbf{d)}\ 3\cdot 6^4
\qquad\textbf{e)}\ 4\cdot 6^4
$

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $E$ ve $F$ noktaları sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktalarıdır. $[AE]$ doğru parçası üzerinde bir $K$ noktası ve $[AF]$ doğru parçası üzerinde bir $L$ noktası $|AK|=|LF|$ olacak şekilde alınmıştır. $[KL]$ doğru parçasının orta noktası $M$ olmak üzere, $CM$ ve $EF$ doğrularının kesişim noktası $N$'dir. $|MN|=1$ ise, $|CN|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Farklı $9$ pozitif tam sayının tam olarak ikisi $2$ ile, tam olarak üçü $3$ ile, tam olarak beşi $5$ ile ve tam olarak yedisi $7$ ile tam bölünmektedir. Buna göre bu sayıların en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 75
\qquad\textbf{b)}\ 105
\qquad\textbf{c)}\ 210
\qquad\textbf{d)}\ 315
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$A$ ve $B$ noktaları arasındaki düz bir yolda sabit hızlarla koşan $X$, $Y$, $Z$ ve $T$ koşucularının $A$ noktasından aynı anda başlayıp $B$ noktasına varmaları ve hiç beklemeden aynı yol üzerinden $A$ noktasına geri dönmeleri gerekmektedir. $X$ in hızı $Y$'nin hızının $5$ katıdır. $Z$'nin hızı $Y$'nin hızının $6$ katıdır. $T$'nin hızı $Y$'nin hızından küçüktür. $T$ koşucusu, yarışma başladıktan $1$ dakika sonra $X$ ile, $4$ dakika sonra $Y$ ile ve $p$ dakika sonra $Z$ ile karşılaşmıştır. Buna göre $p$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{16}{19}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11}{13}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{15}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{8}{11}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{17}{21}
$

Bir koordinat düzleminde $(0,0)$ noktası kırmızıya boyanmıştır. Kırmızıya boyalı her $(x,y)$ noktası için $(x + 7,y)$, $(x-13, y-6)$ ve $(x+1,y+8)$ noktaları da kırmızıya boyalıdır. Buna göre $(2021, 2021)$, $(2020, 2020)$, $(26, 2021)$, $(2021, 26)$ ve $(2021, 2020)$ noktalarından kaç tanesi kesinlikle kırmızıya boyalıdır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunun iç bölgesinde birbirlerine dıştan teğet olan $\omega_1$ ve $\omega_2$ çemberleri; $\omega_1$ çemberi $[AB]$, $[CD]$ ve $[DA]$ kenarlarına, $\omega_2$ çemberi ise $[AB]$, $[BC]$ ve $[CD]$ kenarlarına teğet olacak şekilde çizilmiştir. $ABCD$ yamuğunun alanı $12$ ve $|AD|+|BC|=8$ ise, $|AB|+|CD|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

$a$, $b$ ve $c$ tam sayılar olmak üzere, $ax^2+bx+c=0$ eşitliğini sağlayan yalnızca bir $x$ gerçel sayısı varsa, $(a,b,c)$ üçlüsüne güzel üçlü diyelim. $1\leq a, b, c\leq 100$ ve $\text{obeb}(a, b, c) = 1$ koşullarını sağlayan kaç tane $(a,b,c)$ güzel üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 45
\qquad\textbf{b)}\ 47
\qquad\textbf{c)}\ 49
\qquad\textbf{d)}\ 51
\qquad\textbf{e)}\ 53
$

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $a^2-b^2=1$ ise, $(3a+b)^2$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 12
$

Aslı ve Zehra başlangıçta her birinin üzerinde $1$ yazılı olan $n$ taş ile bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor ve oyuncular sırayla hamle yapıyorlar. Sırası gelen oyuncu taşlardan birinin üzerindeki sayıyı silip yerine sildiği sayının $1$ veya $2$ fazlasını yazıyor. Taşlardan birinin üzerine $29$ yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun $n=4, 5, 6, 12, 29$ değerleri için birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunların kaç tanesini kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$