Geomania.Org Forumları

$a_0,a_1,a_2,...,a_{3030}$ pozitif tam sayıları

                                   $n=0,1,2,...,3028$ için $2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_n$

koşulunu sağlıyorlar. $a_0,a_1,a_2,...,a_{3030}$ sayılarından en az birinin $2^{2020}$ ile bölündüğünü gösteriniz.

Aşağıdaki üç koşulun hepsini sağlayan tüm $(x_1,x_2,...,x_{2020})$ negatif olmayan gerçel sayı listelerini bulunuz:

  (i) $x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_{2020};$

 (ii) $x_{2020} \leq x_1+1;$

(iii) $(x_1,x_2,...,x_{2020})$'nin

                                                 $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{2020} \big( (x_i+1) (y_i+1) \big)^2=8 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{2020} x_i^3$

olacak şekilde bir $(y_1,y_2,...,y_{2020})$ permütasyonu vardır.

Bir listenin permütasyonu, bu listeyle aynı girdilere sahip ve girdilerin herhangi bir sırada olabildiği aynı uzunluktaki bir listedir. Örneğin $(2,1,2),\ (1,2,2)$'nin bir permütasyonudur ve bunların her ikisi de $(2,2,1)$'in permütasyonudur. Herhangi bir listenin kendisinin bir permütasyonu olduğunu dikkate alınız.

$\angle A = \angle C = \angle E$  ve $\angle B = \angle D = \angle F$ olan bir $ABCDEF$ dışbükey altıgeninde $\angle A,\ \angle C$ ve $\angle E$ açılarının iç açıortayları noktadaştır.

$\angle B,\ \angle D$ ve $\angle F$ açılarının iç açıortaylarının da noktadaş olduklarını gösteriniz.

$\angle A = \angle FAB$ olduğunu dikkate alınız. Altıgenin diğer iç açıları da benzer şekilde ifade ediliyor.

$1,2,...,m$ tam sayılarının bir permütasyonunda$,$ ilk $k$ sayı $1,2,...,k$'nin bir sıralanışı olacak şekilde $k<m$ pozitif tam sayısı bulunmuyorsa$,$ bu permütasyona $\textit{taze}$ denir. $1,2,...,m$ tam sayılarının taze permütasyonlarının sayısı $f_m$ olsun.

Her $n \geq 3$ için $f_n \geq n \cdot f_{n-1}$ olduğunu gösteriniz.

Örneğin $m=4$ için$,$ $(3,1,4,2)$ permütasyonu taze iken $(2,3,1,4)$ permütasyonu taze değildir.

Bir $ABC$ üçgeninde $\angle BCA > 90^{\circ}$'dir. $ABC$'nin çevrel çemberi $\Gamma$'nın yarıçapı $R$ olsun. $AB$ doğru parçasının bir $P$ iç noktası için $|PB|=|PC|$ ve $|PA|=R$'dir. $[PB]$'nin orta dikmesi $\Gamma$'yı $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor.

$P$ 'nin $CDE$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.

$m>1$ bir tam sayı olsun. $a_1,a_2,a_3,...$ dizisi $a_1=a_2=1,\ a_3=4$ ve her $n \geq 4$ için$,$

                                $a_n=m(a_{n-1}+a_{n-2})-a_{n-3}$

olarak tanımlanıyor. Bu dizinin tüm elemanlarının tam kare olmasını sağlayan bütün $m$ tam sayılarını belirleyiniz.