Geomania.Org Forumları

$A B C D$ dışbükey bir dörtgen olsun. $P$ noktası, $A B C D$ nin iç bölgesindedir. Aşağıdaki oran eşitlikleri sağlanmaktadır:
$$\angle P A D: \angle P B A: \angle D P A=1: 2: 3=\angle C B P: \angle B A P: \angle B P C.$$ $\angle A D P$ açısının iç açıortayının, $\angle P C B$ açısının iç açıortayının ve $[A B]$ doğru parçasının orta dikmesinin aynı noktadan geçtiğini gösteriniz.

$a, b, c, d$ gerçel sayıları için $a \geq b \geq c \geq d>0$ ve $a+b+c+d=1$ sağlanmaktadır.
$$(a+2 b+3 c+4 d) a^{a} b^{b} c^{c} d^{d}<1$$ olduğunu gösteriniz.

Ağırlıkları $1,2,3, \ldots, 4 n$ olan $4 n$ tane taş bulunmaktadır. Her taş $n$ renkten birine boyanmıştır ve her bir renk için o renge boyalı dört taş bulunmaktadır. Aşağıdaki her iki koşul aynı anda sağlanacak şekilde bu taşları iki öbeğe ayırabileceğimizi gösteriniz:

$\quad\bullet$ İki öbeğin toplam ağırlıkları birbirine eşittir.

$\quad\bullet$ Her bir öbekte her bir renkten tam olarak iki taş vardır.

Bir $n > 1$ tam sayısı verilmiştir. Bir dağın yamacında farklı yüksekliklerde $n^2$ istasyon bulunmaktadır. $A$ ve $B$ teleferik şirketlerinin her biri $k$ teleferik seferi düzenlemektedir. Her teleferik seferi bir istasyondan başlayıp daha yüksekte bulunan başka bir istasyona aradaki hiçbir istasyonda durmadan yapılmaktadır. $A$ şirketinin $k$ seferinin başlangıç istasyonları birbirinden farklıdır. $A$ şirketinin $k$ seferinin bitiş istasyonları birbirinden farklıdır. $A$ şirketinin iki teleferik seferinden başlangıç istasyonu daha yüksekte olanın bitiş istasyonu da daha yüksektedir. Aynı koşullar $B$ şirketi için de sağlanmaktadır. İki istasyondan alçakta olandan yüksekte olana, aynı şirketin bir veya birden fazla seferi kullanılarak ulaşılabiliyorsa, bu iki istasyona o şirketle bağlı diyelim.
Hem $A$ şirketiyle bağlı hem de $B$ şirketiyle bağlı olan iki istasyonun bulunmasını garanti eden en küçük $k$ pozitif tam sayısını belirleyiniz.

$n > 1$ karttan oluşan bir deste verilmiştir. Her kartın üzerinde bir pozitif tam sayı yazılıdır. Herhangi iki kartın üzerindeki sayıların aritmetik ortalaması, destedeki bir veya birkaç kartın üzerindeki sayıların geometrik ortalamasına eşittir.
Hangi $n$ tam sayıları için kartların üzerindeki sayıların hepsi eşit olmak zorundadır?

Aşağıdaki önermeyi doğru kılan pozitif bir $c$ sabiti bulunduğunu gösteriniz:
Düzlemde herhangi ikisinin arasındaki uzaklık en az $1$ olan $n > 1$ noktadan oluşan herhangi bir $\mathcal S$ kümesi alındığında, $\mathcal S$ kümesindeki her noktadan uzaklığı en az $cn^{-1/3}$ olan ve $\mathcal S$ deki noktaları ayıran bir $\ell$ doğrusu bulunur.
(Bir $\ell$ doğrusu, uçları $\mathcal S$ de olan en az bir doğru parçasını kesiyorsa $\ell$ doğrusu $\mathcal S$ deki noktaları ayırır.)

Not. Bir $\alpha > 1/3$ gerçel sayısı için, $cn^{-1/3}$ yerine $cn^{-\alpha}$ için elde edilen sonuçlara $\alpha$ nın değerine göre puan verilebilir.