Geomania.Org Forumları

$$\dfrac{a^3+b^3}{ab+4}=2020$$eşitliğini sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ teğetler dörtgeninin çevre uzunluğu $p_{1}$, köşegenlerinin uzunlukları toplamı $k_{1}$ ve $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ teğetler dörtgeninin çevre uzunluğu $p_{2},$ köşegenlerinin uzunlukları toplamı $k_{2}$ olmak üzere
$$p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}$$
ise $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ve $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ dörtgenlerinin eş kareler olduğunu gösteriniz.

$66$ cücenin toplam $111$ kavuğu vardır. Kavuklardan her biri bir cüceye aittir ve belirli $66$ renkten birine boyalıdır. Bu cücelerin her birinin kendine ait bir kavuğu giyerek katıldığı şenlikler düzenleniyor. Şenliklerin hiçbirinde aynı renkli kavuk giyen iki cüce bulunmamaktadır. Şenliklerin herhangi ikisi için bu şenliklerde farklı renkte kavuk giyen en az bir cüce bulunmaktadır. Düzenlenen şenlik sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

$\mathbb{Z}^{+}$ ile pozitif tam sayılar kümesi gösteriliyor. $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ bir fonksiyon olmak üzere her $\ell \in \mathbb{Z}^{+}$ için $f_{\ell}$ ile $\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{\ell \text { tane }}$ bileşke fonksiyonu gösteriliyor. Her $n \in \mathbb{Z}^{+}$ için,
$$
(n-1)^{2020}<\prod_{\ell=1}^{2020} f_{\ell}(n)<n^{2020}+n^{2019}
$$
eşitsizliğini sağlayan tüm $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ fonksiyonlarını bulunuz.

Farklı isimli öğrencilerden oluşan bir sınıfta en az bir arkadaş ikilisi bulunmaktadır. Öğrencilerin bazılarından oluşan bir sıralı listedeki öğrenciler sırayla kalkıp başlangıçta boş olan tahtaya o an tahtada yazılı olmayan bütün sınıf arkadaşlarının isimlerini yazıyor. Listedeki her öğrenci en az bir ismi tahtaya yazdıysa ve en az bir arkadaşa sahip her öğrencinin ismi süreç sonunda tahtada yazılıysa, bu sıralı listeye bir altın liste diyelim. Çift sayıda öğrenciden oluşan bir altın listenin bulunduğunu gösteriniz.

$A B C$ üçgeninin $A B$ kenarı üzerinde $D$ ve $A C$ kenarı üzerinde $E$ noktaları $D E \parallel B C$ olacak şekilde veriliyor. $B E$ ile $C D$ nin kesiştiği nokta $P$, $(A P D)$ nin $(B C D)$ yi ikinci kez kestiği nokta $M$, $(A P E)$ nin $(B C E)$ yi ikinci kez kestiği nokta $N$ olsun. $M$ ve $N$ den geçip $B C$ ye teğet olan çember $\omega$ olsun. $\omega$ ya $M$ de ve $N$ de teğet olan doğruların $A P$ üzerinde kesiştiklerini gösteriniz.

Not: $(X Y Z)$ ile XYZ üçgeninin çevrel çemberi gösteriliyor.

Bir çember üzerinde $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ noktaları $A_{1} A_{2}\parallel B_{1} B_{2}\parallel C_{1} C_{2}$ olacak şekilde veriliyor. Aynı çember üzerindeki bir $M$ noktası için $M A_{1}$ ile $B_{2} C_{2}$ nin kesişimi $X$, $M B_{1}$ ile $A_{2} C_{2}$ nin kesişimi $Y$, $M C_{1}$ ile $A_{2} B_{2}$ nin kesişimi $Z$ olsun. $X, Y, Z$ nin doğrusal olduğunu gösteriniz.

$0<x, y, z<1$ eşitsizliğini sağlayan $x, y, z$ gerçel sayıları için$$\dfrac{x y z(x+y+z)+(x y+y z+z x)(1-x y z)}{x y z \sqrt{1-x y z}}$$ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$a, n$ pozitif tam sayıları için$$x_{1} x_{2} \cdots x_{10} \equiv a\pmod n$$denkliğini sağlayan $n$ modunda farklı $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{10}\right)$ tam sayı $10$-lularının sayısı $f(a, n)$ ile gösteriliyor. $a$ ve $b$ verilmiş pozitif tam sayılar olmak üzere,

$\text{(a)}$ $\dfrac{f(a, c n)}{f(b, c n)}$ oranının her $n$ pozitif tam sayısı için aynı değere eşit olmasını sağlayan bir $c$ pozitif tam sayısı bulunduğunu gösteriniz.

$\text{(b)}$ Böyle en küçük $c$ nin $27$ olmasını sağlayan tüm $(a, b)$ ikililerini bulunuz.