$n>1$ bir tam sayı olmak üzere, $\left\{1,2, \ldots, n^{2}\right\}$ kümesinin $k$ elemanlı her alt kümesinde $x^{2} \mid y$ olacak şekilde $x$ ve $y$ elemanları bulunuyorsa, $k$ nin alabilecegi en küçük değeri bulunuz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde diklik merkezinden farklı bir $P$ noktası alınıyor. $A$ dan $BP$ ve $CP$ ye indirilen dikme ayakları sırasıyla $D$ ve $E$, $P$ den $AB$ ve $A C$ ye indirilen dikme ayakları sırasıyla $F$ ve $G$ dir. $[AP]$ doğru parçasının orta noktası $X$ olmak üzere, $DFX$ ve $EGX$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $BC$ üzerinde yer alıyorsa, $AP \perp BC$ veya $\widehat{PBA}=\widehat{PCA}$ olduğunu gösteriniz.

$x, y, z$ pozitif gerçel saylar olmak üzere,
$$
2 \sqrt{(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}-\sqrt{\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)}
$$
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$p$ bir asal sayı olmak üzere,
$$
\frac{28^{p}-1}{2 p^{2}+2 p+1}
$$
bir tam sayı ise, $2 p^{2}+2 p+1$ 'in pozitif tam bölen sayısın alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Her $x$ gerçel sayısı için $\lfloor P(x)\rfloor=a_{\lfloor x^{2}\rfloor }$ olacak şekilde bir $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ tam sayı dizisinin bulunmasını sağlayan tüm gerçel katsayılı $P$ polinomlarını bulunuz.


Not: $x$ bir gerçel sayı olmak üzere $\lfloor x\rfloor$ ile $x$ den büyük olmayan en büyük tam sayıyı gösteriyoruz.

Bir çember üzerindeki $2021$ noktadan her biri $1,2, \ldots, k$ renklerinden birine boyanmıştır. Her nokta ve her $1 \leq r \leq k$ rengi için bu noktayı içeren ve üzerindeki noktaların en az yarısının $r$ renginde olduğu bir yay bulunuyor. Buna göre, $k$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.