Geomania.Org Forumları

Merkezi $O$ ile gösterilen bir çember ve bu çemberin iç bölgesinde bir $A$ noktası alınıyor. $B$ noktası çemberin üzerinde ve $OA$ doğrusunun dışında olmak üzere, ${AOB}$ açısının iç açıortayı ile $[AB]$ nın kesişiminin geometrik yerini bulunuz.

Her $n$ pozitif tamsayısı için $$P_{n}(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\ldots +x+1$$ şeklinde tanımlanıyor. Her $a$ pozitif tamsayısı için, $$P_{n}(x)=(1+ax+x^{2}R(x)) Q(x)$$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tam sayısı ile, katsayıları tam sayılar olan $R(x)$ ve $Q(x)$ polinomlarının bulunduğunu gösteriniz.

Tüm $x,y \in \lbrace 1,2, \ldots ,2000\rbrace $ için tanımlanmış ve en çok $n$ sıralı $(x,y)$ ikilisinde farklı değerler alan her $f(x,y)$, $g(x,y)$ fonksiyon çifti için $x\not\in X$ ve $y \not\in Y$ iken $f(x,y)=g(x,y)$ olmasını sağlayacak biçimde, her biri $1000$ elemanlı $X,Y \subset \lbrace 1,2, \ldots ,2000\rbrace $ kümeleri bulunabiliyorsa, $n$ tamsayısının en çok kaç olabileceğini belirleyiniz.

$p$ asal bir sayı olsun. Derecesi $p$'den küçük olan, katsayıları $\{0,1,\dots,p-1\}$ kümesinde yer alan ve tüm $m$, $n$ tam sayıları için $$T(n)\equiv T(m) \pmod {p} \Rightarrow n\equiv m \pmod {p}$$ koşulunu sağlayan bir $T(x)$ polinomunun derecesinin en çok kaç olabileceğini belirleyiniz.

Bir $a$ pozitif gerçel sayısı ve tepesi $A$ noktasında bulunan bir açı verilmiş olsun. $A$ dan geçen ve bu açının kenarlarını $\vert AB\vert +\vert AC\vert =a$ koşulunu sağlayan $B$ ve $C$ noktalarında kesen tüm çemberlerin $A$ nın dışında bir ortak noktasının daha bulunduğunu gösteriniz.

Her $x\in [0,1]$ için $f^{n}(x)=x$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tam sayının bulunmasını olanaklı kılan tüm $f:\lbrack 0,1\rbrack \to \lbrack 0,1\rbrack $ sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
($x \in [0,1]$ olmak üzere, $f^{n}(x)$; $f^{1}(x)=f(x)$ ve her $k$ pozitif tam sayısı için $f^{k+1}(x) = f\left(f^{k}(x)\right)$ bağıntıları aracılığıyla tanımlanıyor.)