Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2020

$ABCD$ bir kare olmak üzere, $AC$ doğrusu üzerinde bir $E$ noktası, $C$ noktası $A$ ile $E$ arasında olacak şekilde alınmıştır. $|AC|=|CE|$ ve $|DE|=30$ ise,  $|AB|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3\sqrt{5} \qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt{10} \qquad\textbf{c)}\ 6\sqrt{5} \qquad\textbf{d)}\ 6\sqrt{10} \qquad\textbf{e)}\ 24$

$n$ iki basamaklı pozitif tam sayısının ondalık yazılımı $AB$ olmak üzere, $1,2,\dots,n$ sayılarının basamak sayılarının toplamının ondalık yazılımı $BA$ ise, $A+B$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 11$

Bir kesedeki topların $\% 28$'i kırmızı, diğerleri ise beyaz renktedir. Kırmızı topların bir kısmı keseden çıkarıldıktan sonra kesede kalan topların $\% 90$'ı beyaz ise, kesede kalan top sayısının keseden çıkarılan top sayısına oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{19}{5} \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{21}{5} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{23}{5}$

Aslı, ardışık birkaç gün boyunca her gün $2$ veya $3$ şeker yiyerek özdeş $20$ şeker içeren bir kavanozdaki şekerlerin tümünü kaç farklı şekilde bitirebilir?

$\textbf{a)}\ 114 \qquad\textbf{b)}\ 117 \qquad\textbf{c)}\ 120 \qquad\textbf{d)}\ 123 \qquad\textbf{e)}\ 126$

$s(\widehat{ABC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninin $[BC]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $2|AE|=3|EC|$, $|AB|=6$ ve $|BD|=2$ ise, $BED$ üçgeninin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{5}{3} \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{12}{5} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{2} \qquad\textbf{e)}\ 3$

$a>b$ ve $\text{okek}(a,b)-\text{obeb}(a,b)=28$ koşullarını sağlayan kaç farklı $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 13$

Aslı, yeni bir test kitabı aldıktan sonra ilk gün bu kitaptaki soruların bir tanesini, ikinci gün kalan soruların dörtte birini, üçüncü gün kalan soruların bir tanesini, dördüncü gün ise kalan soruların dörtte birini çözmüştür. Son durumda bu kitaptaki çözülmemiş soru sayısı $30$ ile $50$ arasında olduğuna göre, bu kitaptaki toplam soru sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 104 \qquad\textbf{b)}\ 112 \qquad\textbf{c)}\ 118 \qquad\textbf{d)}\ 126 \qquad\textbf{e)}\ 138$

Başlangıçta bir çember etrafında $28$ boş kutu bulunuyor. Her işlemde, her iki komşusu boş olan bir boş kutuya bir top yerleştiriliyor ya da bir top bulunduğu kutunun boş bir komşu kutusuna aktarılıyor. Birkaç işlem sonucunda boş olmayan kutu sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 23 \qquad\textbf{b)}\ 24 \qquad\textbf{c)}\ 25 \qquad\textbf{d)}\ 26 \qquad\textbf{e)}\ 27$

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $s (\widehat{BAD} )=s(\widehat{EDC})$, $s(\widehat{DAC} )=s(\widehat{ACD})$, $|BD|=2$, $|AE|=3$ ve $|CD|=4$ ise, $|EC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 6$

Dört basamaklı $4A3B$ pozitif tam sayısının $36$ ile bölümünden kalan $19$'dur. Buna göre $A$'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 12$

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $9x^2 + 2y^2 -6xy - 10y $ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -24 \qquad\textbf{b)}\ -25 \qquad\textbf{c)}\ -26 \qquad\textbf{d)}\ -27 \qquad\textbf{e)}\ -28$

$5\times 5$ bir satranç tahtasının her bir birim karesine $1$, $2$ ve $3$ sayılarından biri, ortak bir kenar paylaşan herhangi iki birim karedeki sayıların toplamı tek sayı olacak biçimde kaç farklı şekilde yazılabilir?

$\text{a)}\ 8192 \qquad\text{b)}\ 10296 \qquad\text{c)}\ 12288 \qquad\text{d)}\ 14864 \qquad\text{e)}\ 16384$
 

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $|AD|=1$, $|CD|=3$, $|BC|=\sqrt{3}$, $s(\widehat{ABC})=30^\circ$ ve $s(\widehat{DAB})=60^\circ $ ise, $|AB|$ kaçtır?

$\text{a)}\ 5 \qquad\text{b)}\ 6 \qquad\text{c)}\ 2\sqrt{3} \qquad\text{d)}\ 2 + \sqrt{3} \qquad\text{e)}\ 6 - \sqrt{3}$

Bir $a$ pozitif tam sayısı için $1+20^n + 101^n + 2020^n$ toplamının $a$ ile tam bölünebilmesini sağlayan en az bir $n$ pozitif tam sayısı bulunuyorsa, $a$ ya şanslı sayı diyelim. $7$, $11$, $13$, $17$ ve $19$ sayılarından kaç tanesi şanslı sayıdır?

$\text{a)}\ 1 \qquad\text{b)}\ 2 \qquad\text{c)}\ 3 \qquad\text{d)}\ 4 \qquad\text{e)}\ 5$

$1,2,...,60$ sayıları her birinde $5$ eleman bulunan $12$ gruba ayrılıyor. Bu grupların ortancalarının toplamının alabileceği en büyük değer nedir?
(Not: $a<b<c<d<e$ sayılarının ortancası $c$ dir.)

$\textbf{a)}\ 498  \qquad\textbf{b)}\ 512  \qquad\textbf{c)}\ 576  \qquad\textbf{d)}\ 614  \qquad\textbf{e)}\ 625$

$302$ tane bilye bir çember etrafına yerleştirilmiş $28$ tane kutuya, her bir kutuda en az bir bilye bulunacak  şekilde dağıtılmıştır. Herhangi ardışık üç kutudaki toplam bilye sayısı en az $32$ ise, bir kutudaki bilye sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 13  \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 15$

$s(\widehat{ABC})=135^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $B$ den geçip $OC$ ye paralel olan doğru $[AO]$ doğru parçasını $D$ noktasında, $B$ den geçip $OA$ ya paralel olan doğru $[OC]$ doğru parçasını $E$ noktasında kesmektedir. $|AD|=1$ ve $|OD|=24$ ise, $|EC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 18$

$10$ tane tam sayının küplerinin toplamı $1000$ ise, bu $10$ sayının toplamı $24$, $26$, $28$ ve $30$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, her $x$ gerçel sayısı için $f(x)=x^2+ax+b$ olsun. $f(x)=0$ denkleminin sadece bir tane gerçel kökü vardır. $f(3x-4)+f(5x+2)=0$ denkleminin de yalnızca bir tane gerçel kökü varsa, $f(x)=0$ denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ -13  \qquad\textbf{b)}\ -8  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 28$

$99$ toptan herhangi $10$ tanesinin en az üçü aynı renktedir. Bu $99$ top, aynı renktekiler aynı grupta ve farklı renktekiler farklı grupta olacak şekilde gruplara ayrılıyor. ̇İçerdiği top sayısı diğer hiçbir grubunkinden az olmayan bir gruptaki top sayısı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 21  \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 23  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 25$

$s(\widehat{BAC})=46^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları  $|BD|=|CE|=|AO|$ olacak şekilde alınmıştır. Buna göre $s(\widehat{DOE})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 95^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 99^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 103^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 107^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 111^{\circ}$

Pozitif bir tam sayının rakamlarından birinin silinmesiyle oluşan sayıya o sayının $altsayısı$ diyelim. Örneğin, $1024$ sayısının altsayıları $24,124,104$ ve $102$ dir. $n$ pozitif tam sayısı $m$ pozitif tam sayısının bir altsayısı olmak üzere $m+n=282021$ ise, $m$ nin basamakları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 22  \qquad\textbf{b)}\ 27  \qquad\textbf{c)}\ 32  \qquad\textbf{d)}\ 37  \qquad\textbf{e)}\ 42$

Sabit hızlarla hareket eden $A$ ve $B$ bisikletçilerinin hızları sırasıyla $24$ km/saat ve $30$ km/saat tir. Bu iki bisikletçi toplam uzunluğu $1680$ km olan bir yola aynı anda başlıyorlar. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, bu yol üzerinde bulunan her mola noktasında $A$ bisikletçisi $k$ saat, $B$ bisikletçisi ise $2k$ saat dinleniyor. $A$ ve $B$ bisikletçileri bu yolu aynı anda tamamladıklarına göre, yol üzerinde bulunan mola noktası sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 30$

Her tam sayı $k$ renkten birine, farklarının mutlak değeri asal sayı olan herhangi iki sayı farklı renkte olacak şekilde boyanmışsa, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 7$

Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olmak üzere, $AI$ doğrusu $BIC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $D$ noktasında kesmektedir. $|AB|=8$, $|AC|=10$ ve $|AI|=4$ ise, $|ID|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16  \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 8\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ 10\sqrt2$

$m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere $4m^3+8m^2n-3mn^2-9n^3=28$ ise, $m+n$ toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 18$

$x^2+y^2=3$ ve $(x+1)(y-1)=1$ eşitliklerinin her ikisini de sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi için $xy$ aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ -2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 2$

Toplam ağırlıkları $100$ gram olan birkaç taş, hem eşit ağırlıklı $5$ gruba hem de eşit ağırlıklı $8$ gruba ayrılabiliyor. Buna göre, diğerlerinin hiçbirinden ağır olmayan bir taşın ağırlığı en fazla kaç gram olabilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11}{2}  \qquad\textbf{e)}\ 6$

$|AB|>|AD|$ olan bir $ABCD$ paralelkenarında $\widehat{DAB}$, $\widehat{ABC}$, $\widehat{BCD}$ ve $\widehat{CDA}$ açılarının iç açıortay doğruları sırasıyla $l_A$, $l_B$, $l_C$ ve $l_D$ olsun. $l_A$ ile $l_D$ $K$ noktasında, $l_D$ ile $l_C$ $L$ noktasında, $l_C$ ile $l_B$ $M$ noktasında, $l_B$ ile $l_A$ ise $N$ noktasında kesişmektedir. $|KN|=6$, $|MN|=8$ ve $|AD|=12$ ise, $|AK|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{36}{5}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{38}{5}  \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{42}{5}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{44}{5}$

Pozitif tam bölenlerinden tam olarak $4$ tanesi tam kare olan bir pozitif tam sayının pozitif tam bölen sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}\ 48  \qquad\textbf{b)}\ 56  \qquad\textbf{c)}\ 64 \qquad\textbf{d)}\ 72  \qquad\textbf{e)}\ 80$

$a$, $b$ ve $c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $a+c>2b$ ve $b+c>3a$ eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

$\textbf{a)}\ c>a \geq b  \qquad\textbf{b)}\ c>b \geq a  \qquad\textbf{c)}\ c^2>2ab \qquad\textbf{d)}\ 3c>4b  \qquad\textbf{e)}\ a+c>b^2$

Bir masa üzerinde başlangıçta biri $m$ diğeri $n$ bilyeden oluşan iki öbek bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu öbeklerin birini masadan alıp diğerini hiçbiri boş olmayan iki öbeğe ayırıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $(m,n)$ = $(2019,2020), (2019,2021), (2020,2020), (2020,2021)$ ve $(2021,2021)$ için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$