Kenar uzunluğu $1$ olan bir karenin içinde herhangi $9$ nokta verildiğinde, bu noktalar arasından alanı $\dfrac{1}{8}$ den küçük olan bir üçgen oluşturan $3$ noktanın seçilebileceğini gösteriniz.

$ \dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = k$ eşitliğini sağlayan $x$, $y$ gerçel sayıları veriliyor. $$\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8} + \dfrac{x^8 - y^8}{x^8 + y^8} $$ ifadesinin $k$ türünden eşitini bulunuz.

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ dır. $N$ ve $M$ sırasıyla $[AB]$, $[CA]$ kenarlarının orta noktalarıdır. $BI$, $CI$ doğruları $MN$ doğrusu ile sırasıyla $K$, $L$ noktalarında kesişiyor. $$ |AI|+|BI|+|CI| > |BC|+|KL| $$ olduğunu ispatlayınız.

$R$ çevrel çember yarıçapına ve $a$, $b$, $c$ kenar uzunluklarına sahip bir üçgende $R(b+c)=a\sqrt{bc}$ dir. Üçgenin açılarını bulunuz.

$n_1,n_2, \dots , n_{1998}$ pozitif tam sayıları $n_1^2 + n_2^2 + \dots + n_{1997}^2 = n_{1998}^2 $ eşitliğini sağlıyor. Bu sayılardan en az ikisinin çift olduğunu gösteriniz.