Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2017

En az iki basamaklı olup, bütün rakamları aynı olan ve tam dört tane pozitif böleni olan sayılara kolay sayı diyelim. Örneğin $11111=41\cdot 271$ bir kolay sayıdır. Buna göre, $10^5$'den küçük olan kaç kolay sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 18$

$2017$ tavuk $25$ kümese, her kümeste farklı sayıda tavuk olmak koşuluyla yerleştiriliyor. Tavuk sayısının en fazla olduğu kümeste en az kaç tavuk vardır?

$\textbf{a)}\ 90 \qquad\textbf{b)}\ 91  \qquad\textbf{c)}\ 92 \qquad\textbf{d)}\ 93 \qquad\textbf{e)}\ 95$

$\dfrac{1}{6}$ kesiri, pozitif iki kesrin toplamı olarak birçok şekilde yazılabilir. Örneğin, $$\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12};~\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15};~\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{24}~~~\text{gibi.}$$ Buna göre, $\dfrac{1}{100}$ kesiri, pozitif iki kesrin toplamı olarak kaç farklı şekilde yazılabilir? (Not: $\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}$ ve $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$ aynı yazılışı ifade eder.)

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 13$

Hatırlatma: Sorudaki ufak bir hatayı düzeltmek için, kullanılan 'kesir' ifadesini $k$ pozitif tam sayı olmak üzere, $\dfrac{1}{k}$ formatındaki rasyonel sayılar olarak ele alınız.

Masa üzerine, kırmızı, beyaz ve mavi renkli kağıt parçaları serpiştirilmiştir. Kırmızı parçalar üzerinde $7$, beyazlar üzerinde $15$ ve maviler üzerinde $28$ sayıları yazılmıştır. Üzerlerindeki sayıların toplamı $210$ olacak şekilde birkaç kağıt alınacaktır. Her renkten en az bir kağıt alınması koşuluyla en az kaç kağıt alınmalıdır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 15$

Antalya, İzmir ve Trabzonlulardan oluşan toplam $50$ kişi, hep birlikte balık avlamaya gidiyorlar ve toplam $2500$ balık avlıyorlar. Her Trabzonlu $53$ balık avlıyor. Her İzmirli $45$ balık avlıyor. Her Antalyalı da $48$ balık avlıyor. Buna göre, balık avlamaya giden Trabzonlu sayısı kaç farklı değer olabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

$3\times 3$ ölçülerindeki kareyi oluşturan $9$ birim karenin $3$'ü siyaha boyanıyor ve siyaha boyanan karelerin ortak kenarı olmasına izin verilmiyor. (Bir boyama örneği şekilde verilmiştir.) Bu boyama işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 22$

$$A=\dfrac{1}{100\cdot 200}+\dfrac{1}{101\cdot 199}+\dfrac{1}{102\cdot 198}+\cdots +\dfrac{1}{199\cdot 101}+\dfrac{1}{200\cdot 100} ~~\text{ve}$$ $$B=\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+\cdots+\dfrac{1}{199}+\dfrac{1}{200}$$ olmak üzere, $\dfrac{B}{A}$ oranının bir tamsayı olduğu biliniyorsa, bu tamsayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 9$

Her $x>0$ sayısı için, $x^3-ax+16\geq 0$ eşitsizliğinin sağlanması garanti eden $a$ sayılarının bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \left (-\infty,\infty \right ) \qquad\textbf{b)}\ \left (-\infty,8 \right ]  \qquad\textbf{c)}\ \left (-\infty,10 \right ] \qquad\textbf{d)}\ \left (-\infty,12 \right ] \qquad\textbf{e)}\ \left (-\infty,16 \right ]$

$ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınmıştır. $\left |AB\right |=\left |DC\right |=3$ ve $m(\widehat{ABD})=90^{\circ}$, $(\widehat{DBC})=30^{\circ}$ olduğu biliniyorsa, $\left |AD\right |\cdot \left |BC\right |$ çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 10$

$x,y,z$ reel sayıları, $$x+y+z=7\sqrt{2}~~~\text{ve}~~~x^2+y^2+z^2=38$$ eşitliklerini sağlıyorlarsa, $xy$ çarpımının maksimum değeri kaç olur?

$\textbf{a)}\ 15\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 19\sqrt{2} \qquad\textbf{d)}\ 19 \qquad\textbf{e)}\ 15$

$x^4+x^2y^2-8x^2+6\leq 0$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 14$

$A= (2\cdot 5+\sqrt{2}) (3\cdot 6+\sqrt{2})\cdots (97\cdot 100+\sqrt{2}) (98\cdot 101+\sqrt{2})$ ve $B=(3\cdot 3-2)(4\cdot 4-2)\cdots (98\cdot 98-2)(99\cdot 99-2)$ olsun. $a$ ve $b$ tamsayılar olmak üzere, $$\dfrac{A}{B}=\dfrac{a-\sqrt{2}}{b-\sqrt{2}}$$ eşitliği varsa, $a-b$ farkı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 97 \qquad\textbf{b)}\ 98  \qquad\textbf{c)}\ 99 \qquad\textbf{d)}\ 100 \qquad\textbf{e)}\ 101$

$x\in [-1,3]\backslash \{0\}$ olmak üzere, $$x\left (1+\dfrac{1}{|x|}\right )=y-\dfrac{|y|}{y}$$ denklemini sağlayan $(x,y)$ noktaları içinde, aralarındaki uzaklık en büyük olan iki nokta arasındaki uzaklık aşağıdakilerden hangisidir?

Not: $(a,b)$ ve $(c,d)$ noktaları arasındaki uzaklık, $\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$ formülüyle bulunur.

$\textbf{a)}\ 3\sqrt{5} \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt{5} \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt{5}$

$1\leq z\leq 20$ olmak üzere, $$\dfrac{1}{x}=\dfrac{y^2}{z-x+1}=\dfrac{2y}{z+1}$$ denklem sisteminin, tam sayılarda kaç $(x,y,z)$ çözüm üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

Koordinat düzleminde, $$P_0=(0,0),~P_1=(0,2),~P_2=(2,0),~P_3=(-2,-2),~P_4=(1,1)$$ noktaları veriliyor. Bu koordinat düzleminde bir $B$ bölgesi seçiliyor. Öyle ki, bu bölgedeki herhangi bir noktanın orijine uzaklığı $P_i$, $i=1,2,3,4$ noktalarına uzaklığından küçük veya eşittir. Buna göre, bu bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 6,5 \qquad\textbf{b)}\ 7,5  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 7,2 \qquad\textbf{e)}\ 6,4$

$n>12$ olmak üzere, $n$ tam sayısı $n+6$ sayısının iki pozitif tam böleninin toplamına eşittir. $n$ kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 0  \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 4$

Şekilde, $KD||AC$, $KC||ED$, $BE||CD$ ve $BD||AE$ olmak üzere, $$\dfrac{|AB|}{|BC|}=x$$ ise, $(2x-1)^2$ sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 5$

İki oyuncu sırayla, her hamlesinde bir hane olmak üzere, $m\times n$ boyutlu bir tablonun hanelerini boyuyorlar. Boyanmış olan bir haneyle tam bir ortak köşesi bulunan haneleri boyamak yasaktır (boyanmış bir haneyle ortak kenara sahip olan hane boyanabilir). Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun, $$12\times 13, ~12\times 14, ~13\times 14,~ 13\times 15~ \text{ve}~ 14\times 15$$ boyutlu tablolarda birer kez oynanırsa, ilk hamleyi yapan oyuncu, bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 4$

Pozitif terimli $a_0,a_1,a_2,...$ dizisi, $a_0=1$ olmak üzere, aşağıdaki şekilde tanımlansın: $$a_1=\dfrac{1}{a_0+a_1}~ \text{ve her}~ k\geq 2~\text{için}~ a_k=\dfrac{1}{a_0+a_1}+\dfrac{1}{a_1+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{k-1}+a_k}$$ Buna göre, $\lfloor a_{99}\rfloor$ tamdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 99 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 101$

$a_1=9$ ve $n\geq 1$ için, $a_{n+1}=a_n(a_n+5)+4$ olsun. $$A=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n+2}{a_{n+1}+2}$$ toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{7} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{9}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{11} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{13} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{15}$

ABC dar açılı üçgeninde, $H$ yüksekliklerin kesişme noktası, $D$ ise $[BC]$ kenarının orta noktasıdır. $HD$ doğrusu üzerinde, $|HD|=|DK|$ olacak şekilde bir $K$ noktası alınıyor. $m(\widehat{A})=30^\circ$ ve $|BC|=1$ br ise, $|AK|$ uzunluğu kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{3}$

$A = \{0,1,2,3,\dots,19\}$ kümesinin boş olmayan bir $K$ altkümesi,


koşulunu sağlıyorsa, $K$ altkümesine Altın altküme diyelim. Buna göre, $A$ kümesinin kaç Altın altkümesi vardır?

$\textbf{a)}\ 70 \qquad\textbf{b)}\ 72  \qquad\textbf{c)}\ 180 \qquad\textbf{d)}\ 210 \qquad\textbf{e)}\ 360$

$ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarında, sırasıyla, $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $O$ noktası, $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olmak üzere, $$|BD|\cdot |AB|=|OB|^2~~ \text{ve}~~ |CE|\cdot |AC|=|OC|^2$$
eşitlikleri sağlanıyor. $D,O,E$ noktaları doğrusal ise, üçgenin $A$ köşesindeki iç açısının ölçüsü $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$ ve $90^\circ$ değerlerinden kaç tanesi olabilir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 1$

Sekiz elemanlı $K=\{2,3,...,9\}$ kümesinin, $4$ tane ikili altkümeye parçalanmışlarını ele alalım. Bir parçalanmış içinde, en büyük ortak bölenleri $2$ olan herhangi bir ikili altküme yoksa, bu parçalanışa "iyi parçalanış" diyelim. Örneğin, $$P_1 = \{\{2, 9\}; \{3, 4\}; \{5, 7\}; \{4, 6\}\}~~\text{ve}~~ P_2 = \{\{4,8\}; \{2, 3\}; \{5, 6\}; \{9, 7\}\}$$
parçalanışları ele alınırsa, $P_2$ iyi bir parçalanıştır. $\{4, 6\}$ altkümesinden dolayı ise $P_1$ iyi parçalanış değildir. Buna göre, $K$ kümesinin kaç iyi parçalanışı vardır?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 27  \qquad\textbf{c)}\ 30 \qquad\textbf{d)}\ 36 \qquad\textbf{e)}\ 42$

Kare şeklindeki bir $ABCD$ kartonu, şekildeki gibi, $[DC]$ üzerindeki bir $M$ ve $[AB]$ üzerindeki bir $E$ noktasından katlanıyor ve $AEMD$ yamuğunun $[EM]$'ye göre simetriği olan $A'EMD'$ yamuğu elde ediliyor. $D'MN$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı $3$ cm, $A'BE$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı ise 4 cm'dir. Buna göre, $A'NC$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{5} \qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt{2}$