Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2018

$K=\sqrt{9-\sqrt{65}}(\sqrt{13}-\sqrt{5})(9+\sqrt{65})$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 16\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 17\sqrt{2}  \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 18\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ 18\sqrt{5}$

Yukarıdaki şekilde, $|AD|=8$, $|AB|=4$ ve $m(\widehat{BAD})=30^{\circ}$ olup, $$|BC|=|CD|=|DB|$$'dir. Buna göre $|AC|$ uzunluğunu bulunuz.

$\textbf{a)}\ 8\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 6\sqrt{2} \qquad\textbf{d)}\ 4\sqrt{5} \qquad\textbf{e)}\ 10$

$x=1111\cdot 10^{11}$, $y=77777\cdot 10^5$ ve $z=111111$ ise, $$\sqrt[3]{\dfrac{x+y+z}{3}}$$ tamsayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 18 \qquad\textbf{e)}\ 19$

$x$ ve $y$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $x-y=9$ ve $OKEK(x,y)=10098$ olduğuna göre, $x+y$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 603 \qquad\textbf{b)}\ 540  \qquad\textbf{c)}\ 621 \qquad\textbf{d)}\ 594 \qquad\textbf{e)}\ 702$

Pozitif bölenlerinin çarpımı $12^{90}$ olan sayının, pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 30855 \qquad\textbf{b)}\ 10200  \qquad\textbf{c)}\ 819 \qquad\textbf{d)}\ 61831 \qquad\textbf{e)}\ 3751$

Alanı $50$ br$^2$'den büyük olan dikdörtgen şeklindeki bölge, hepsinin kenar uzunluğu $1$ br olan kare şeklindeki parkelerle döşenmiştir. Bölgenin sınırlarına siyah renkli kareler ve içine de beyaz renkli kareler kullanılmıştır. Siyah ve beyaz renkli karelerin sayısı eşit ise, dikdörtgen bölgenin alanı kaç birim karedir?

$\textbf{a)}\ 52 \qquad\textbf{b)}\ 54  \qquad\textbf{c)}\ 56 \qquad\textbf{d)}\ 58 \qquad\textbf{e)}\ 60$

Gökberk ve Tuğberk, $52!$ sayısının pozitif bölenlerinden rastgele birer tane seçip, seçtikleri bu iki pozitif böleni topluyorlar. Bu toplamın çift sayı olma olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{2026}{2401} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2210}{2401}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2305}{2401} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{461}{500} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1201}{1250}$

$a_n=\dfrac{n^2+3}{n^2+n-3}$ genel terimiyle verilen $a_n$ dizisi için, $K=\{a_i:i\in[1,2018]\}$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2012 \qquad\textbf{b)}\ 2016  \qquad\textbf{c)}\ 2014 \qquad\textbf{d)}\ 2015 \qquad\textbf{e)}\ 2017$

$p,q$ ve $r$ asal sayıları, $p+q=(p-q+r)r$ eşitliğini ve $p+q<123$ eşitsizliğini sağlıyorlar. Buna göre, $pqr$ çarpımının en büyük değerinin rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 19 \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 17$

$a<b<c$ sayıları, $x^3-3x^2+(2-m)x+m=0$ denkleminin kökleri olsun.$$(a^2-4a-c^2)^2$$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 25 \qquad\textbf{e)}\ 49$

$a>b>0$ sayıları verilsin. Bir köşesi $y=x$, $x>0$ ışını üzerinde, ikinci köşesi $Ox$ ekseni üzerinde ve üçüncü köşesi de, koordinatları $(a,b)$ olan $A$ noktasında bulunan üçgenler içinde çevre uzunluğu en küçük olanın çevre uzunluğu $6$ br ise, $a^2+b^2$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 18 \qquad\textbf{e)}\ 24$

Bir $ABCD$ dörtyüzlüsünün kenarlarının uzunlukları küçükten büyüğe $8,12,19,26,35$ ve $40$ olarak verilmiştir. $|AB|=40$ olduğu bilindiğine göre, $|CD|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 27 \qquad\textbf{e)}\ 35$

$3\times 3$ boyutlu tablonun hanelerine $1$'den $9$'a kadar tamsayılar, ardışık sayılar, komşu (ortak kenarı bulunan) hanelerde bulunacak şekilde kaç farklı biçimde yazılabilir?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 40 \qquad\textbf{d)}\ 50 \qquad\textbf{e)}\ 54$

$51,52,53,\dots 104$ sayılarının en büyük tek sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1385 \qquad\textbf{b)}\ 2704  \qquad\textbf{c)}\ 2092 \qquad\textbf{d)}\ 2768 \qquad\textbf{e)}\ 2385$

$\{1,2,3,4,5,6\}$ kümesinin boş kümeden farklı her $A$ altkümesinin en büyük elemanı ile en küçük elemanının farkına "$A$ kümesinin boyu" diyelim. Buna göre, $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinin boş kümeden farklı tüm altkümelerinin boyları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 192 \qquad\textbf{b)}\ 201  \qquad\textbf{c)}\ 197 \qquad\textbf{d)}\ 207 \qquad\textbf{e)}\ 603$

Negatif olmayan $a_0,a_1,a_2,\dots$ dizisi, her $n=0,1,2,\dots$ için, $$\dfrac{1}{a_0^2+a_0a_1+a_1
^2}+\dfrac{1}{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n^2+a_na_{n+1}+a_{n+1}^2}=a_{n+1}$$ indirgemeli (yineleme) bağlantısını sağlasın. Buna göre, $a_8=2$ ise, $a_{16}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{4\sqrt[3]{2}}{3} \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt[3]{3}  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt[3]{2} \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt[3]{2} \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt{3}$

$\dfrac{n^{10}+n^9+\cdots+n^2+n+1}{n+10}$ ifadesini tamsayı yapan en büyük $n$ tamsayısı için, $\dfrac{n}{9}$ sayının, $9$'a bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$

Bir $n=b^4+c^3+d^2+9$ pozitif tamsayısının, bölenleri, $$1=a<b<c<d<\cdots<n$$ şeklindedir. Bu koşulu sağlayan en küçük $n$ sayısının kaç pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 18$

$x,y\in \mathbb{R}$ olmak üzere, $(5x^2+2y)$ ve $(5y^2+2x)$ sayılarının en büyüğünü $m(x;y)$ ile gösterelim. Yani, $m(x;y)=\max\{(5x^2+2y);(5y^2+2x)\}$. Buna göre, $$\dfrac{1}{5m(x;y)+4}$$ ifadesinin alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{6} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{5}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{4} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{2}$

$ABCDEF$ düzgün altıgen olsun. Altıgen içinde, $$m(\widehat{ABP})=m(\widehat{EFP})=55^{\circ}$$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. Buna göre $\widehat{BAP}$ açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 72 \qquad\textbf{b)}\ 65  \qquad\textbf{c)}\ 70 \qquad\textbf{d)}\ 75 \qquad\textbf{e)}\ 80$

Kenarları $|AB|=5$, $|BC|=6$ ve $|CA|=7$ olan bir $ABC$ üçgeninin içinde bir $P$ noktası alınıyor ve $P$ noktasından, üçgeninin $[BC]$, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarlarına sırasıyla $[PD]$, $[PE]$ ve $[PF]$ dikmeleri çiziliyor. Buna göre, $$\dfrac{|BC|}{|PD|}+\dfrac{|CA|}{|PE|}+\dfrac{|AB|}{|PF|}$$ toplamının en küçük değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9\sqrt{6}}{2} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{6\sqrt{6}}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{10\sqrt{6}}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11\sqrt{6}}{2}$

Pozitif $x,y$ ve $z$ sayıları, $$(x+y+z)+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+6=2(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1})$$ denklemini sağlıyorsa, $xyz$ çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3+\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 5+7\sqrt{2}  \qquad\textbf{c)}\ 7+5\sqrt{2} \qquad\textbf{d)}\ 5+
3\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ 3+5\sqrt{2}$

$a_0=1$ ve ve her $n\in\mathbb{N}$ için, $$a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_{n+1}+a_n}$$ bağlantısıyla verilen $a_n$ dizisi için, $\dfrac{a_{50}}{a_{100}}$ reel sayısının, virgülden sonraki ilk basamağı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 2$

$a,b$ ve $c$ reel sayılar olmak üzere, $$f(x)=\dfrac{a}{x^2+1}+\dfrac{b}{x^2+2}+\dfrac{c}{x^2+3}-\dfrac{1}{x^2}$$ fonksiyonu için, $f(1)=f(2)=f(3)=0$ eşitlikleri sağlamaktadır. Buna göre, $(m,n)=1$ olmak üzere, $f(4)=\dfrac{m}{n}$ ise, $m$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 36 \qquad\textbf{b)}\ 31  \qquad\textbf{c)}\ 35 \qquad\textbf{d)}\ 34 \qquad\textbf{e)}\ 38$

$[0,1]$ aralığında azalmayan olup, her $x\in [0,1]$ için, $$f(x)+f(1-x)=1~~~\text{ve}~~~f(x)=2f\left(\dfrac{x}{3}\right)$$ koşullarını sağlayan bir $f$ fonksiyonunun varlığını kabul edelim. $f\left(\dfrac{5}{8}\right)$ değeri kaçtır?

(Hatırlatma: $u\leq v$ olan her $u,v\in[0,1]$ için, $f(u)\leq f(v)$ olursa, $f$ fonksiyonuna azalmayan denir.)

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{3}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2}{3} \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{4}$