Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2019

Tam sayılar kümesi $\mathbb Z$ ile gösterilsin. Tüm $a$ ve $b$ tam sayıları için
$$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$$ koşulunu sağlayan tüm $f:\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z$ fonksiyonlarını bulunuz.
 

Bir $ABC$ üçgeninde, $\left [ BC \right ]$ kenarı üzerinde $A_1$ ve $\left [ AC \right ]$ kenarı üzerinde $B_1$ noktaları alınıyor. Sırasıyla $\left [ AA_1 \right ]$ ve $\left [ BB_1 \right ]$ doğru parçaları üzerinde $P$ ve $Q$ noktaları, $PQ$ ile $AB$ parallel olacak şekilde alınıyor. $PB_1$ doğrusu üzerinde $P_1$ noktası, $B_1$ noktası $P$ ile $P_1$ arasında kalacak ve $\angle PP_1C=\angle BAC$ olacak şekilde alınıyor. Benzer şekilde,  $QA_1$ doğrusu üzerinde $Q_1$ noktası, $A_1$ noktası $Q$ ile $Q_1$ arasında kalacak ve $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ olacak şekilde alınıyor.

$P$, $Q$, $P_1$ ve $Q_1$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Sanal alemdeki bir sosyal şebekede $2019$ kullanıcı bulunuyor. Bu kullanıcılardan bazıları arkadaştır. Arkadaşlık karşılıklıdır, yani $A$ kullanıcısı $B$ ile arkadaş ise, $B$ kullanıcısı $A$ ile arkadaştır. Bu sosyal şebekedeki arkadaşlık durumlarını değiştiren aşağıdaki türden olaylar, her defada sadece bir kere olmak üzere, çok defa meydana gelebiliyor:

Olay: $A$, $B$ ve $C$; $A$ hem $B$, hem de $C$ ile arkadaş olacak, fakat $B$ ile $C$ birbirleriyle arkadaş olmayacak şekilde üç kullanıcı olmak üzere, arkadaşlık durumları değişip $B$ ile $C$ birbirleriyle arkadaş olmaya, $A$ ise hem $B$, hem de $C$ ile arkadaş olmamaya başlıyor. Diğer arkadaşlık durumları ise değişmiyor.

Başlangıçta, $1010$ adet kullanıcının her birinin $1009$ arkadaşı, $1009$ adet kullanıcının ise her birinin $1010$ arkadaşı bulunuyor. Her kullanıcının en çok $1$ arkadaşının olmasıyla sonuçlanacak olaylar dizisinin bulunduğunu gösteriniz.

$$k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4) \cdots (2^n-2^{n-1})$$denklemini sağlayan tüm $(k,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

Bath Bankası bir yüzünde $H$, diğer yüzünde $T$ yazan madeni paralar basmıştır. Bu paralardan $n$ tanesi soldan sağa dizilmiş olarak Giray'ın önünde duruyor. Giray şu işlemi tekrar tekrar uyguluyor: önündeki paralardan tam olarak $k > 0$ tanesinin $H$ yüzü üstteyse, soldan $k$-inci sıradaki parayı ters çeviriyor; aksi halde, yani tüm paraların $T$ yüzü üstteyse, duruyor. Örneğin, $n = 3$ durumunda $THT$ dizilişiyle başlayan süreç $THT \rightarrow HHT \rightarrow HTT \rightarrow TTT$ olarak devam edip üç işlem sonunda durur.

• Başlangıçtaki diziliş nasıl olursa olsun, Giray'ın sonlu sayıda işlem sonunda duracağını gösteriniz.
  
• Her $C$ başlangıç dizilişi için, $L(C)$ ile Giray'ın durana kadar yaptığı işlem sayısı gösterilsin. Örneğin, $L(THT) = 3$ ve $L(TTT) = 0$ dır. Her bir $C$ başlangıç dizilişi için $L(C)$ değerinin ayrı ayrı belirlenmesiyle elde edilen $2^n$ adet sayının ortalamasını bulunuz.

$|AB| \neq |AC|$ koşulunu sağlayan dar açılı bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çember merkezi $I$ dır. $ABC$ nin iç teğet çemberi $\omega$; $[BC]$, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarlarına sırasıyla $D$, $E$ ve $F$ noktalarında teğettir. $D$ den geçip $EF$ ye dik olan doğru $\omega$ ile ikinci kez $R$ noktasında kesişiyor. $AR$ doğrusu $\omega$ ile ikinci kez $P$ noktasında kesişiyor. $PCE$ ve $PBF$ üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez $Q$ noktasında kesişiyor.

$DI$ ve $PQ$ doğrularının, $A$ dan geçip $AI$ ya dik olan doğru üzerinde kesiştiğini gösteriniz.