$0\le x,y,z,w\le 36$ olmak üzere, $$x^{2}+y^{2}\equiv z^{3}+w^{3} \pmod {37}$$ denkliğini sağlayan $(x,y,z,w)$ sıralı tamsayı dörtlülerinin sayısını bulunuz.

$O$ merkezli bir çembere, dışındaki bir $S$ noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları $P$ ve $Q$; $SO$ doğrusunun çemberle kesişim noktaları $A$ ve $B$; $PB$ (küçük) yayının herhangi bir iç noktası $X$; $QX$ ve $PX$ doğrularının $OS$ doğrusu ile kesişim noktaları $C$ ve $D$ ile gösterilmek üzere, $$\dfrac{1}{\vert AC\vert }+\dfrac{1}{\vert AD\vert }=\dfrac{2}{\vert AB\vert }$$ olduğunu ispatlayınız.

$n$ ve $p$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $i,j\in \lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace $ için $\vert f(i)-f(j)\vert \le p$ şartını sağlayan $$f:\lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace \to \lbrace -p,-p+1,\ldots ,p-1,p\rbrace $$ fonksiyonlarının sayısının $(p+1)^{n+1}-p^{n+1}$ olduğunu gösteriniz.

Her $n>1$ için $a_{n}=a_{n-1}(2-a_{n-1})$, $\dfrac{1}{2}<a_{1}<1$ ve $\sum\limits_{n=1}^{2000}{a_{n}}=1999$ koşullarını sağlayan tüm $(a_{n})$ gerçel sayı dizilerini bulunuz.

Çevrel çemberinin yarıçapı $R$ olan dar açılı bir $A_{1}A_{2}A_{3}$ üçgeninde, $A_{1}$, $A_{2}$ ve $A_{3}$ noktalarından geçen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $Y_{1}$, $Y_{2}$ ve$Y_{3}$, $\vert A_{1}Y_{1}\vert =h_{1}$, $\vert A_{2}Y_{2}\vert =h_{2}$, $\vert A_{3}Y_{3}\vert =h_{3}$; $A_{1}$, $A_{2}$ ve $A_{3}$ noktalarından $(Y_{1}Y_{2}Y_{3})$ çemberine çizilen teğetlerin uzunlukları da sırasıyla $t_{1}$, $t_{2}$ ve $t_{3}$ ile gösterilmek üzere, $$
\sum_{i=1}^{3}{\left(\dfrac{t_{i}}{\sqrt{h_{i}}}\right)^{2}\le \dfrac{3}{2}R}$$ olduğunu ispatlayınız.

$40$ sayının toplamını, $8$ "işlemci'' kullanarak bulmak istiyoruz. Başlangıçta, her işlemcinin ekranında $0$ sayısı bulunuyor. Herhangi bir işlemci, kendisine dışarıdan verilen ya da başka bir işlemciden aktarılan sayıyı, ekranındaki mevcut sayıyla bir birim zamanda toplayarak, elde ettiği sonucu ekranına yazıyor. Ekranındaki sayıyı başka bir işlemciye aktaran bir işlemcinin ekranı kararıyor. Verilen $40$ sayıdan istediklerimizi istediğimiz işlemciye girerek ve işlemcilerin elde ettiği kısmi toplamları da istediğimiz işlemciye aktararak, bu $40$ sayıyı en az kaç birim zamanda toplayabiliriz?