Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2018
1
Bir $ABC$ üçgeninde $|CA|=|CB|,\ \angle{ACB}=120^{\circ}$ ve $[AB]$ kenarının orta noktası $M$ dir. $P,$ $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin üzerinde bulunan bir değişken nokta olmak üzere$,$ $[CP]$ üzerindeki $Q$ noktası $|QP|=2|QC|$ koşulunu sağlasın. $P$ noktasından geçen ve $AB$ ye dik olan doğruyla $MQ$ doğrusunun kesiştiği tek nokta $N$ olsun. $P$ noktası nerede alınırsa alınsın$,$ $N$ noktasının sabit bir çember üzerinde bulunacağını gösteriniz.
2
$A$ kümesi $A=\left\{1+\dfrac1k : k=1,2,3,... \right\}$ şeklinde tanımlanmıştır.
(a) Her $x \geq 2$ tam sayısının $A$ nın bir veya birkaç elemanının çarpımı şeklinde yazılabileceğini gösteriniz (çarpanlar birbirinden farklı olmak zorunda değildir).
(b) Her $x \geq 2$ tam sayısı için$,$ $f(x)$ sayısı öyle en küçük tam sayı olsun ki$,$ $x$ sayısı $A$ nın $f(x)$ tane elemanının çarpımı şeklinde gösterilebilsin (çarpanlar birbirinden farklı olmak zorunda değildir).
$x \geq 2,\ y\geq 2$ olmak üzere$,$ sonsuz tane $(x,y)$ ikilisi için
$f(xy)<f(x)+f(y)$
olduğunu gösteriniz.
$\big($ $(x_1,y_1)$ ve $(x_2,y_2)$ ikililerinin farklı olması için $x_1 \neq x_2$ veya $y_1 \neq y_2$ olmalıdır$\big)$.
3
$EGMO$ nun $n$ yarışmacısının isimleri $C_1,...,C_n$ dir. Yarışmadan sonra yarışmacılar aşağıdaki kurallara göre yemekhanenin önünde bir kuyruk oluşturacak şekilde dizilmişler.
$\bullet$ Yarışmacıların başlangıçta bulundukları kuyruk Jüri tarafından belirleniyor.
$\bullet$ Her dakika$,$ Jüri $1 \leq i \leq n$ olmak üzere bir $i$ tam sayısı seçiyor.
$-$ $C_i$ isimli yarışmacının önünde en az $i$ yarışmacı bulunuyorsa bu yarışmacı Jüri ye bir Evro para ödüyor ve önündeki tam olarak $i$ kişinin önüne geçiyor.
$-$ $C_i$ isimli yarışmacının önünde $i$ den daha az yarışmacı bulunuyorsa yemekhanenin kapıları açılıyor ve süreç tamamlanıyor.
(a) Jüri nasıl kararlar alırsa alsın bu sürecin sonsuza dek devam edemeyeceğini gösteriniz.
(b) Verilmiş her $n$ sayısı için Jüri başlangıçtaki dizilişi ve yapacağı hamle dizisini akıllıca seçerek en fazla kaç Evro para toplayabilir?
4
Domino $1 \times 2$ veya $2 \times 1$ boyutlu bir taştır.
$n \geq 3$ bir tam sayı olsun. Birkaç domino $n \times n$ satranç tahtasının üzerine her domino tam olarak iki birim kare kaplayacak ve herhangi iki domino herhangi bir birim kareyi aynı anda kapamayacak şekilde yerleştirilmiştir.
Bir satır veya sütunun değeri bu satır veya sütunun en az bir birim karesini kapayan dominoların toplam sayısıdır. Bir $k \geq 1$ sayısı için her satır ve her sütunun değeri $k$ ya eşitse dominoların bu konfigürasyonuna (yerleştirilmesine) dengeli diyelim.
Her $n \geq 3$ için dengeli konfigürasyon bulunduğunu gösteriniz ve bu dengeli konfigürasyondaki domino sayısının en az kaç olabileceğini belirleyiniz.
5
Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ olsun. $AB$ doğrusuna teğet olan $\Omega$ çemberi aynı zamanda $\Gamma$ çemberine$,$ $AB$ doğrusuna göre $C$ ile aynı tarafta bulunan bir noktada teğettir. $\angle{BCA}$ nın açıortayı $\Omega$ yı birbirinden farklı $P$ ve $Q$ noktalarında kesiyor.
$\angle{ABP}=\angle{QBC}$ olduğunu gösteriniz.
6
(a) $0<t<\dfrac12$ koşulunu sağlayan verilmiş $t$ gerçel sayısı için aşağıdaki koşulu sağlayan bir $n$ pozitif tam sayısının bulunduğunu gösteriniz: $n$ tane pozitif tam sayıdan oluşan her $S$ kümesinin öyle birbirinden farklı $x$ ve $y$ elemanları ve öyle negatif olmayan bir $m$ tam sayısı (diğer bir deyişle $m \geq 0$) vardır ki$,$
$|x-my|\leq ty$
olsun.
(b) $0<t<\dfrac12$ koşulunu sağlayan verilmiş $t$ gerçel sayısı için sonsuz tane pozitif tam sayıdan oluşan ve aşağıdaki koşulu sağlayan bir $S$ kümesinin bulunup bulunamayacağını belirleyiniz:
$S$ in birbirinden farklı her $x$ ve $y$ elemanları ve her pozitif $m$ tam sayısı için (diğer bir deyişle $m>0$)
$|x-my| > ty$
olsun.