$$x^p+y^p+z^p-x-y-z$$ ifadesinin tam olarak $3$ farklı asal sayının çarpımı olmasını sağlayan bir $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlüsünün var olduğu tüm $p$ asal sayılarını bulunuz.

$a$ ve $b$ iki farklı reel sayı ve $c$ pozitif bir reel sayı olmak üzere, $$a^4-2019a=b^4-2019b=c$$ ise $-\sqrt{c}<ab<0$ olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninde $AB<AC$'dir. $BC$ kenarının orta dikmesi $AB$ ve $AC$'yi sırasıyla $P$ ve $Q$'da kessin. $H$, $ABC$'nin diklik merkezi, $M$ ve $N$ sırasıyla $BC$ ve $PQ$'nun orta noktası olmak üzere, $HM$ ve $AN$ doğrularının $ABC$'nin çevrel çemberi üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

$500$ kareden oluşan bir $5\times 100$'luk tabloda $n$ tane kare siyaha, geri kalan ise beyaza boyanmıştır. Ortak bir kenar bulunduran karelere komşu diyelim. Eğer her kare en fazla $2$ siyah kareyle komşuysa, $n$ en fazla kaç olabilir?