Tüm asal sayıların kümesi $\mathbb P $ olsun. Her $p,q \in \mathbb P$ için$$ f(p)^{f(q)} + q^p = f(q)^{f(p)} + p^q $$ $\ \ \ \ \ $koşulunu sağlayan tüm $f: \mathbb P \to \mathbb P$ fonksiyonlarını bulunuz.

$a,b,c$ gerçel sayıları $0\leq a \leq b \leq c $ ve $a+b+c = ab + bc + ca > 0 $ koşullarını sağlıyorlar. $\sqrt{bc}(a+1) \geq 2$ eşitsizliğini kanıtlayınız. Eşitliği sağlayan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.

$ABC$ dar açılı ve çeşitkenar bir üçgen olsun. $BC$ kenarının birbirinden farklı olan $X$ ve $Y$ iç noktaları $\angle CAX = \angle YAB $ koşulunu sağlıyorlar.
$\ \ \ \ \ 1)$ $B$ noktasından $AX$ ve $AY$ doğrularına çizilen dikmelerin ayakları sırasıyla $K$ ve $S$ olsun.
$\ \ \ \ \ 2)$ $C$ noktasından $AX$ ve $AY$ doğrularına çizilen dikmelerin ayakları sırasıyla $T$ ve $L$ olsun.
$\ \ \ \ \ KL$ ve $ST$ doğrularının $BC$ doğrusu üzerinde kesiştiklerini kanıtlayınız.

Kafes noktaları, $m$ ve $n$ tamsayılar olmak üzere, $|m|\leq 2019$, $|n|\leq 2019$ ve $ |m|+|n| < 4038$ koşullarını sağlayan tüm $(m,n)$ noktalarından oluşuyor. $|m|=2019 $ ve $|n|=2019$ koşullarından birini sağlayan  $(m,n)$ kafes noktaları sınır noktalarıdır. $x=\pm 2019 $ ve $y=\pm 2019 $ olarak tanımlanmış dört doğru sınır doğrularıdır. Aralarındaki uzaklık $1$ olan iki kafes noktası komşu noktalardır.
$\ \ \ \ \ $Aslı ve Berk kafes noktaları üzerinde bir oyun oynuyorlar.
$\ \ \ \ \ $Başlangıçta $(0,0)$ noktasında Aslı'nın bir bilyesi bulunuyor. Oyuna Berk başlamak üzere, Berk ve Aslı sırayla hamle yapıyorlar.
$\ \ \ \ \ 1)$ Berk her hamlesinde dört sınır doğrusunun her birini alıyor ve her doğrunun üzerindeki sınır noktalarından en fazla iki tanesini siliyor.
$\ \ \ \ \ 2)$ Aslı'nın hem hamlesi tam olarak üç adımdan oluşuyor. Bu adımların her birinde Aslı bilyeyi bulunduğu noktadan alıp daha önce silinmemiş bir komşu noktaya taşıyor.
$\ \ \ \ \ $Aslı'nın bilyeyi daha önce silinmemiş herhangi bir sınır noktasına taşıdığı an oyun sonlanıyor ve Aslı oyunu kazanıyor.
$\ \ \ \ \ $Aslı oyunu kazanmayı garantileyebilir mi?