$$m^5-n^5=16mn$$ denklemini sağlayan tüm $(m,n)$ tam sayı çiftlerini bulunuz.
Çözüm:
$m$ ve $n$'den biri $0$ ise diğeri de $0$ bulunur. $(m,n)=(0,0)$ çözümü bulunur.
$i)$ $m$ pozitif, $n$ negatif ise $m^5-n^5>0$ fakat $16mn<0$ olur. Çelişki.
$ii)$ $m$ negatif, $n$ pozitif ise $m=-a$ olsun. $$a^5+n^5=16an$$ olur. Bu denklem simetrik olduğundan genelliği bozmadan $a\geq n$ diyebiliriz. $$a^5 < a^5+n^5=16an\leq 16a^2\Rightarrow a^3< 16\Rightarrow a\leq 2$$ olur. $a=2$ ve $a=1$ olabilir. Buradan $(a,n)=(2,2)$ çözümünü buluruz. $(m,n)=(-2,2)$ çözümü elde ederiz.
$iii)$ $m$ ve $n$ pozitifse $m>n$ olur. $m=n+k$ dersek, $$(n+k)^5-n^5=16(n+k)n\Rightarrow nk(5n^3-16)+10n^3k^2+n^2(10k^3-16)+5nk^4+k^5=0$$ olur. Eğer $n,k>1$ ise sol taraf pozitif olacağından çözüm gelmez.
$iiia)$ $n=1$ ise $m^5-1=16m$ olur. $m|1$ olacağından $m=1$ olur fakat sağlamaz. Çelişki.
$iiib)$ $k=1$ ise $(n+1)^5-n^5=16(n+1)n$ olur. Düzenlersek $5n^4+10n^3-6n^2-11n+1=0$ olur ve $n|1$ olacağından $n=1$ olur fakat sağlamaz.
Dolayısıyla $m$ ve $n$ pozitif iken bir çözüm yoktur.
$iv)$ $m$ ve $n$ negatifse $(m,n)$ çözümse $(-n,-m)$ de çözüm olacaktır fakat denklemin pozitiflerde çözümü olmadığını göstermiştik. Dolayısıyla negatiflerde de çözümü yoktur.
Tüm çözümler $(m,n)=(0,0), (-2,2)$'dir.