$$m^5-n^5=16mn$$ denklemini sağlayan tüm $(m,n)$ tam sayı çiftlerini bulunuz.

Aşağıdaki şartları sağlayan $n$ adet $3$ basamaklı sayılar seçiyoruz, öyle ki,

i) Her birinin rakamları toplamı $9$'dur.
ii) Hiçbir sayıda $0$ rakamı bulunmuyor.
iii) Herhangi iki sayının birler basamağı birbirinden farklı.
iv) Herhangi iki sayının onlar basamağı birbirinden farklı.
v) Herhangi iki sayının yüzler basamağı birbirinden farklı.

Buna göre $n$ en fazla kaç olabilir?

$k>1$ pozitif tam sayı ve $n>2018$ tek tam sayı olsun. $0$'dan farklı ve hepsi birbirine eşit olmayan $x_1,x_2,...,x_n$ rasyonel sayıları için, $$x_1+\dfrac{k}{x_2}=x_2+\dfrac{k}{x_3}=x_3+\dfrac{k}{x_4}=\cdots = x_{n-1}+\dfrac{k}{x_n}=x_n+\dfrac{k}{x_1}$$ sağlıyor. Buna göre $k$'nın alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$ABC$ üçgeninde $A',B'$ ve $C'$ sırasıyla $A,B$ ve $C$ köşelerinin karşı kenara göre simetrileri olsun. $ABB'$ ve $ACC'$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $A$'dan farklı olarak $A_1$'de kesişsin. Aynı şekilde $B_1$ ve $C_1$ noktalarını da tanımlayalım. Buna göre $AA_1$, $BB_1$ ve $CC_1$ doğrularının tek noktada kesiştiğini gösteriniz.