$2019$ torbanın her birinde $1,2,\ldots,2019$ sayılarıyla numaralandırılmış ve toplam ağırlıkları $1kg$ olan $2019$ taş bulunuyor. Bu koşulları sağlayan her durumda ağılıkları toplamı en az $1kg$ olan ve herhangi ikisi farklı numaralı ve farklı kutlularda bulunan birkaç taş en az $k$ farklı şekilde seçilebiliyorsa, $k$nin alabileceği en büyük değer nedir?

Bir $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ tam sayı dizisi, $a_1=1$, $a_2=2$ ve her $n\ge1$ için
$$a_{n+2}=a_{n+1}^2+(n+2)a_{n+1}-a_n^2-na_n$$
eşitliğini sağlıyor. Buna göre

$a)$ Bu dizinin en az bir terimini bölen asal sayılar kümesinin sonlu olmadığını kanıtlayınız.

$b)$ Bu dizinin hiçbir terimini bölmeyen $3$ farklı asal sayı bulunuz.

$|AB|\gt|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $A$ dan $BC$ ye indirilen yüksekliğin ayağı $D$, $B$ ye ait iç açıortayın $AD$ yi kestiği nokta $K$, $B$ den $CK$ ye indirilen dikmenin ayağı $M$ ve $BM$ ile $AK$ nin kesişim noktası $N$ olsun. $N$ den geçip $DM$ ye paralel olan doğru $AC$ yi $T$ de kestiğine göre $BM$ nin $\widehat{TBC}$ açısının iç açıortayı olduğunu gösteriniz.

Bir $n$ pozitif tamsayısı için, $n$'nin basamak sayısı $b$ olmak üzere $r+l\lt b$ koşulunu sağlayan herhangi $r$ ve $l$ negatif olmayan tamsayıları için $n$'nin en soldaki $l$ basamağının be en sağdaki $r$ basamağının silinmesiyle elde edilen sayının her bir pozitif bölenine $n$'nin alt böleni deniyor.(Örneğin $143$ sayısının alt bölenleri $1, 2, 3, 4, 7, 11, 13, 14, 43$ ve $143$'tür.) $d$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $d$ yi alt bölen olarak kabul etmeyen tam sayıların kümesi $A_d$ ile gösterilsin. $A_d$'nin sonlu bir kümesi olmasını sağlayan tüm $d$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

Gerçel katsayılı ve sabit olmayan bir $P(x)$ polinomunun tüm kökleri gerçel sayılardır.
$$(P(x))^2=P(Q(x))$$
eşitliğinin her $x$ gerçel sayısı için sağlayan gerçel katsayılı bir $Q(x)$ polinomu bulunuyorsa, $P(x)$ polinomunun tüm köklerinin aynı olduğunu gösteriniz.

$k$ bir pozitif sayı tam sayı olmak üzere,
$$n=2k\text{  ise  } R_n=\{-k, -(k-1),\ldots, -1, 1,\ldots,k-1,k\}$$
$$n=2k+1\text{   ise  } R_n=\{-k, -(k-1),\ldots, -1, 0, 1,\ldots, k-1, k\}$$
olsun.Bir düzenek birkaç bilyeden ve bazı bilye ikililerini birleştiren kırmızı veya beyaz iplerden oluşuyor. Her bir bilye $R_n$ kümesindeki sayılardan birinin, iple birleştirilmiş herhangi iki bilyenin sayıları farklı olacak biçimde yazılmasına iyi etiketleme diyelim. Her bir bilyeye $R_n$ kümesindeki sayılardan birinin, beyaz bir iple birleştirilmiş herhangi iki bilyenin sayıları farklı olacak, kırmızı iple birleştirilmiş herhangi iki bilyenin sayılarının toplamı $0$ olmayacak şekilde yazılmasına hassas etiketleme diyelim.

$n\ge3$ olmak üzere, $R_n$ ile iyi etiketlenebilen her düzenek $R_m$ ile hassas etiketlenebiliyorsa, $m$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$\angle ACB=90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde $C$ ye ait yükseklik ayağı $D$ olsun. $D$ noktasının $AC$ ve $BC$ doğrularına göre yansıması sırasıyla $E$ ve $F$ olsun. $ECB$ ve $FCA$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ olmak üzere,
$$2|O_1O_2|=|AB|$$
olduğunu gösteriniz.

$p\gt2$ bir asal sayı, $m\gt1$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $\dfrac{m^{pn}-1}{m^n-1}$ bir asal sayı ise,
$$ pn|(p-1)^n+1$$
olduğunu gösteriniz.

$x,y,z$ gerçel sayılar olmak üzere $y\gt 2z\gt 4x$ ve
$$2(x^3+y^3+z^3)+15(xy^2+yz^2+zx^2)\gt 16(x^2y+y^2z+z^2x)+2xyz$$
koşulları sağlanıyorsa $4x+y\gt 4z$ olduğunu kanıtlayınız.